37. 解數獨

數獨的解法需 遵循如下規則：

1. 數字 1-9 在每一行只能出現一次。
2. 數字 1-9 在每一列只能出現一次。
3. 數字 1-9 在每一個以粗實線分隔的 3x3 宮內只能出現一次。（請參考示例圖）

數獨部分空格內已填入了數字，空白格用 '.' 表示。

示例：

輸入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
輸出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]
 

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位數字或者 '.'
• 題目資料 保證 輸入數獨僅有一個解

官方題解+詳解

連結

方法二：位運算優化
思路與演算法

在方法一中，我們使用了長度為 9的陣列表示每個數字是否出現過。我們同樣也可以藉助位運算，僅使用一個整數表示每個數字是否出現過。

具體地，數 b 的二進位制表示的第 i 位（從低到高，最低位為第 0 位）為 1，當且僅當數字 i+1 已經出現過。例如當 b 的二進位制表示為 (011000100)₂時，就表示數字 3，7，8 已經出現過。

位運算有一些基礎的使用技巧。下面列舉了所有在程式碼中使用到的技巧：

• 對於第 i 行第 j 列的位置，line[i] column[j] block[i/3][j/3]， 中第 k位為 1，表示該位置不能填入數字 k+1（因為已經出現過），其中 | 表示按位或運算。[ j/3]line[i] ∣ column[j] ∣ block[i/3][j/3]就可以獲取所有已經出現過的數字，如果我們對這個值進行∼ 按位取反運算，那麼第 k 位為 1就表示該位置可以填入數字 k+1，我們就可以通過尋找 1 來進行列舉。由於在進行按位取反運算後，這個數的高位也全部變成了 1，而這是我們不應當列舉到的，因此我們需要將這個數和 (111111111)₂ = (1FF)₁₆進行按位與運算 &
  ，將所有無關的位置為 0；
• 我們可以使用按位異或運算∧，將第 i 位從 0 變為 1，或從 1 變為 0。具體地，與數 1 << i 進行按位異或運算即可，其中 << 表示左移運算；

a<<b 表示把a轉為二進位制後左移b位（在後面新增 b個0）

^ 運算:不同則為1，相同則為0,如0^1=1,1^1=0

line[i] ^= (1 << digit);如剛開始 d=2,line[i]=0

0^(1<<2) => 0^(100) => 100  從右往左（第一位是0）第2位變成1

d=1, 100^(1<<1) => 100^10 => 110 從右往左第1位變成1， 這樣操作，每次都可以把第 i 位即 digit 的位置變成1，記錄在第 digit位 已經有資料了，

例如當 b 的二進位制表示為 (011000100)₂時，就表示數字 3，7，8 已經出現過；

如果在dfs函式下面，表示填digit走不通，就要改回來，把1變成0，即 d=1, 110^(10) => 101原來的第1位的1變成了0

• 我們可以用 b & (−b) 得到 b 二進位制表示中最低位的 1，這是因為 (−b) 在計算機中以補碼的形式儲存，它等於∼b+1。b 如果和∼b 進行按位與運算，那麼會得到 0，但是當 ∼b 增加 1 之後，最低位的連續的 1 都變為 0，而最低位的 0 變為 1，對應到 b 中即為最低位的 1，因此當 b 和∼b+1 進行按位與運算時，只有最低位的 1會被保留；

• 當我們得到這個最低位的 1 時，我們可以通過一些語言自帶的函式得到這個最低位的 1究竟是第幾位（即 i值），具體可以參考下面的程式碼；

int __builtin_ffs (unsigned int x) 
//返回x的最後一位1的是從後向前第幾位，比如7368（1110011001000）返回4。 
int __builtin_clz (unsigned int x) 
//返回前導的0的個數。 
int __builtin_ctz (unsigned int x) 
//返回後面的0個個數，和__builtin_clz相對。 
int __builtin_popcount (unsigned int x) 
//返回二進位制表示中1的個數。 
int __builtin_parity (unsigned int x) 
//返回x的奇偶校驗位，也就是x的1的個數模2的結果。

• 我們可以用 b 和最低位的 1進行按位異或運算，就可以將其從 b 中去除，這樣就可以列舉下一個 1。同樣地，我們也可以用 b 和 b−1 進行按位與運算達到相同的效果，讀者可以自行嘗試推導。

實際上，方法二中整體的遞迴 + 回溯的框架與方法一是一致的。不同的僅僅是我們將一個數組「壓縮」成了一個數而已

class Solution {
private:
    int line[9];
    int column[9];
    int block[9];//用block[9]是因為 j/3+(i/3)*3即可代表屬於哪一個block
    bool valid;
    vector<pair<int, int>> spaces;

public:
    void flip(int i, int j, int digit) {
        line[i] ^= (1 << digit);
        column[j] ^= (1 << digit);
        block[j/3+(i/3)*3] ^= (1 << digit);
    }

    void dfs(vector<vector<char>>& board, int pos) {
        if (pos == spaces.size()) {
            valid = true;
            return;
        }

        auto [i, j] = spaces[pos];
        int mask = ~(line[i] | column[j] | block[j/3+(i/3)*3]) & 0x1ff;
        for (; mask && !valid; mask &= (mask - 1)) {
            int digitMask = mask & (-mask);//得到 mask 二進位制表示中最低位的 1,如mask=10100 => 得 100
            int digit = __builtin_ctz(digitMask);//返回後面的0個數,100=>2,即從右往左（0開始）第2位即2可以填
            flip(i, j, digit);
            board[i][j] = digit + '0' + 1;
            dfs(board, pos + 1);
            flip(i, j, digit);//改回來
        }
    }

    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        memset(line, 0, sizeof(line));
        memset(column, 0, sizeof(column));
        memset(block, 0, sizeof(block));
        valid = false;

        for (int i = 0; i < 9; ++i) {
            for (int j = 0; j < 9; ++j) {
                if (board[i][j] == '.') {
                    spaces.emplace_back(i, j);//加入需要填數字的位置
                }
                else {
                    int digit = board[i][j] - '0' - 1;
                    flip(i, j, digit);
                }
            }
        }

        dfs(board, 0);
    }
};

bitset

來自

bitset每個位置只佔1bit，支援所有位運算。

初始化

string和整數

bitset<23>bit (string("11101001"));
cout<<bit<<endl;
bit=233;
cout<<bit<<endl;

00000000000000011101001
00000000000000011101001

位運算

b1&b2 b1^b2 b1|b2 b1<<n b1>>n

函式

對於一個叫做bit的bitset：
bit.size()       返回大小（位數）
bit.count()     返回1的個數
bit.any()       返回是否有1
bit.none()      返回是否沒有1
bit.set()       全都變成1
bit.set(p)      將第p + 1位變成1（bitset是從第0位開始的！） 
bit.set(p, x)   將第p + 1位變成x
bit.reset()     全都變成0
bit.reset(p)    將第p + 1位變成0
bit.flip()      全都取反
bit.flip(p)     將第p + 1位取反
bit.to_ulong()  返回它轉換為unsigned long的結果，如果超出範圍則報錯
bit.to_ullong() 返回它轉換為unsigned long long的結果，如果超出範圍則報錯
bit.to_string() 返回它轉換為string的結果