524. 憤怒的小鳥
題目連結
524. 憤怒的小鳥
Kiana 最近沉迷於一款神奇的遊戲無法自拔。
簡單來說，這款遊戲是在一個平面上進行的。
有一架彈弓位於 \((0,0)\) 處，每次 Kiana 可以用它向第一象限發射一隻紅色的小鳥，小鳥們的飛行軌跡均為形如 \(y=a x^{2}+b x\) 的曲線，其中 \(a, b\) 是 Kiana 指定的引數，且必須滿足 \(a<0\) 。
當小鳥落回地面 (即 \(x\) 軸) 時，它就會瞬間消失。
在遊戲的某個關卡里，平面的第一象限中有 \(n\) 只綠色的小豬，其中第 \(i\) 只小豬所在的座標為 \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\) 。
如果某隻小鳥的飛行軌跡經過了 \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\)
如果一隻小鳥的飛行軌跡沒有經過 \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\) ，那麼這隻小鳥飛行的全過程就不會對第 \(i\) 只小豬產生任何影響。
例如，若兩隻小豬分別位於 \((1,3)\) 和 \((3,3)\) ，Kiana 可以選擇發射一隻飛行軌跡為 \(y=-x^{2}+4 x\) 的小鳥，這 樣兩隻小豬就會被這隻小鳥一起消井。
而這個遊戲的目的，就是通過發射小鳥消大所有的小豬。
這款神奇遊戲的每個關卡對 Kiana 來說都很難，所以 Kiana 還輸入了一些神祕的指令，使得自己能更輕鬆地完成 這個這個遊戲。
這些指令將在輸入格式中詳述。
假設這款遊戲一共有 \(T\)
由於她不會算，所以希望由你告訴她。
注意:本題除 NOIP 原資料外，還包含加強資料。
輸入格式
第一行包含一個正整數 \(T\) ，表示遊戲的關卡總數。
下面依次輸入這 \(T\) 個關卡的資訊。
每個關卡第一行包含兩個非負整數 \(n, m\) ，分別表示該關卡中的小豬數量和 Kiana 輸入的神祕指令型別。
接下來的 \(n\) 行中，第 \(i\) 行包含兩個正實數 \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\) ，表示第 \(i\) 只小豬座標為 \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\)
如果 \(m=0\) ，表示 Kiana 輸入了一個沒有任何作用的指令。
如果 \(m=1\) ，則這個關卡將會滿足：至多用 \(\lceil n / 3+1\rceil\) 只小鳥即可消厈所有小豬。
如果 \(m=2\) ，則這個關卡將會滿足：一定存在一種最優解，其中有一隻小鳥消滅了至少 \(\lfloor n / 3\rfloor\) 只小豬。
保證 \(1 \leq n \leq 18,0 \leq m \leq 2,0<x_{i}, y_{i}<10\) ，輸入中的實數均保留到小數點後兩位。
上文中，符號 \(\lceil c\rceil\) 和 \(\lfloor c\rfloor\) 分別表示對 \(c\) 向上取整和向下取整，例如 :
\(\lceil 2.1\rceil=\lceil 2.9\rceil=\lceil 3.0\rceil=\lfloor 3.0\rfloor=\lfloor 3.1\rfloor=\lfloor 3.9\rfloor=3\) 。
輸出格式
對每個關卡依次輸出一行答案。
輸出的每一行包含一個正整數，表示相應的關卡中，消滅所有小豬最少需要的小鳥數量。
資料範圍
輸入樣例：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
輸出樣例：
1
1
解題思路
狀壓dp
最多隻有 \(18\) 個小豬，據此考慮拋物線的數量，由 \(y=ax^2+bx\) 可知兩點確定一條拋物線，所以最多需要 \(n^2\) 條拋物線，每兩個點預處理出所有合法的拋物線，即 \(a<0\) 且為拋物線，兩點橫座標不同，這樣問題就轉化為選出最少的拋物線覆蓋所有的點，即重複覆蓋問題，這裡數量比較少，可用狀壓dp來做：
-
狀態表示：\(f[i]\) 表示狀態為 \(i\) 時還需要的最少拋物線數量
-
狀態計算：\(f[i|path[x][j]]=min(f[i|path[x][j]],f[i]+1)\)，其中 \(path[x][j]\) 表示由 \(x\) 和 \(j\) 兩個點形成的拋物線所能覆蓋點的狀態
分析：狀態 \(i|path[x][j]\) 可能是由 \(i\) 轉移過來的，其中 \(x\) 為狀態 \(i\) 未能覆蓋的點 -
時間複雜度：\(O(T\times (n^3+n2^n))\)
程式碼
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
typedef pair<double,double> PDD;
const int N=20,M=1<<18;
int n,m,t;
PDD p[N];
int f[M],path[N][N];
int cmp(double a,double b)
{
if(fabs(a-b)<eps)return 0;
if(a<b)return 1;
return -1;
}
int main()
{
for(cin>>t;t;t--)
{
memset(path,0,sizeof path);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>p[i].fi>>p[i].se;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
path[i][i]=1<<i-1;
double x1=p[i].fi,y1=p[i].se;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
double x2=p[j].fi,y2=p[j].se;
if(!cmp(x1,x2))continue;
double a=(y1/x1-y2/x2)/(x1-x2),b=(y1-a*x1*x1)/x1;
if(cmp(a,0)<=0)continue;
int state=0;
for(int k=0;k<n;k++)
{
double x=p[k+1].fi,y=p[k+1].se;
if(!cmp(y,a*x*x+b*x))state+=1<<k;
}
path[i][j]=state;
}
}
memset(f,0x3f,sizeof f);
f[0]=0;
for(int i=0;i+1<(1<<n);i++)
{
int x=0;
for(int j=0;j<n;j++)
if((i>>j&1)==0)
{
x=j+1;
break;
}
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i|path[x][j]]=min(f[i|path[x][j]],f[i]+1);
}
cout<<f[(1<<n)-1]<<'\n';
}
return 0;
}