正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P8207

題目大意

有編號為\([L,R]\)區間的點，連線兩個點\(x,y\)邊權的為\(LCM(x,y)\)，求這張圖的最小生成樹。

\(1\leq L\leq R\leq 10^6,R-L\leq 10^5\)

解題思路

我們有一個結論： 對於張圖\(G\)中的一個生成子圖\(E\)，\(E\)之中的一條邊\(k\)如果不在\(E\)最小生成樹中，那麼\(k\)肯定也不在\(G\)的最小生成樹中。

那麼我們考慮找一些可能是答案的邊出來跑最小生成樹。

對於一個\(i\)我們提取出所有它倍數的點，對於點\(ik\)來說它肯定不會去連線某個\(ik'\)

所以我們可以對於一個點\(x\)的每個約數\(d\)，我們只連線一個最小的\(d\times k\)，然後把這些邊拿出來跑\(Kruskal\)就好了。

時間複雜度：\(O(n\log^2 n)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
	ll x,y,w;
}e[11000000];
ll L,R,ans,m,fa[1100000];
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&L,&R);
	for(ll i=1;i<=R;i++){
		for(ll j=i;j<=R;j+=i){
			if(j>=L){
				ll p=(L+i-1)/i*i;
				if(p==j)continue;
				e[++m]=(node){j,p,j*p/i};
			}
		}
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(ll i=L;i<=R;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		ans+=e[i].w;fa[x]=y;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}