有 N 種物品和一個容量是 V 的揹包，每種物品都有無限件可用。

第 i 種物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和揹包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 種物品的體積和價值。

輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
輸入樣例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
輸出樣例：
10

題解

樸素做法

該做法時間複雜度高，會出現TLE

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];//樸素做法

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}
 

第一步優化

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}
 

最後做法

優化了二維陣列f

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}
 

完全揹包問題與01揹包的區別在於

完全揹包是由f[i]層轉化來的，
01揹包是從f[i-1]層推出來的，
所以只有第二重迴圈中的j的迴圈條件不同