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阿新 • • 發佈：2022-03-24
是個好題啊。。
題意：給定三個數n,d,mod，求有多少種n個點的不同構的樹滿足：除了度數為1的結點外，其餘結點的度數均為d。答案對質數mod取模。
\(n\le1000,d\le10\)
注意到去重，我們直接欽定重心是根。（這個 trick 真的想不到，如果我做過無標號無根樹計數 那個題估計就可以想到了）
但是這樣統計還是會有重複，於是我們可以給樹定一個順序，強制“左偏”（也就是讓樹的子樹按照 siz 大小強制排序）
定義 \(dp_{i,j,k}\) 代表 \(i\) 個點的樹，有 \(j\) 個子節點，每個子節點的 siz 大小最大為 \(k\) 的樹的數量
然後就能轉移了嗎？
首先 \(dp_{i,j,k}\)
還有一種是包含 siz 為 \(k\) 的子樹的情況。列舉包含了幾個，轉移方案數就是 \(dp_{i,j,k}\)=\(dp_{i-k*t,j-t,k}*\binom{dp_{k,d-1,k-1}+t-1}{t}\)
然後就做完了。
然而還沒有做完，如果 siz 是偶數的話有可能有雙重心所以要減去 \(\binom{dp_{n/2,d-1.n/2-1}}{2}\) 種方案數。
為什麼是 \(\binom{dp_{n/2,d-1.n/2-1}}{2}\)，因為是選兩個不重複的子樹這樣會被算兩次，如果重複了就只會被算一次。（用圖解釋）
然後就做完了。
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