題目

有 \(k\) 個盒子, 第 \(i\) 個盒子有 \(n_i\) 個數. 保證所有數互不相同。

從每個盒子各拿出一個數, 並按照某種順序放回去(每個盒子恰好放入一個數)。

判斷是否能使操作後所有盒子內的數的和相同, 有解需要輸出任意一個方案。

\(k\leq 15,n_i\leq 5000\)

分析

可以發現拿出一個數，那麼放進去的這個數也是確定的，那麼這樣就確定的有向的關係。

由於每個點只往外連一條邊，所以這張有向圖實則形成一個內向基環樹。

相當於要將所有的環抽出來，可以作為一種子方案，然後再將所有環拼接起來，相當於列舉子集。

時間複雜度為 \(O(3^k+2^k*k)\)

可以先跑一遍拓撲排序將非環的部分剔除掉，然後只找環的部分，注意如果環記憶體在兩個數在同一盒子且並不相同，那麼這個環不能使用。

程式碼

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=80101; vector<int>ans[N]; map<long long,int>dfn; queue<int>q;
int xo[N],deg[N],nxt[N],v[N],n,al,a[16][N>>4],S,tot,X[N],Y[N],pre[N]; long long s[16],sum;
int iut(){
	int ans=0,f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) f=(c=='-')?-f:f,c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans*f;
}
int main(){
	n=iut(),al=(1<<n)-1;
	for (int i=1;i<=al;++i) xo[i]=xo[i&(i-1)]+1;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		a[i][0]=iut();
		for (int j=1;j<=a[i][0];++j){
			a[i][j]=iut(),s[i]+=a[i][j];
			dfn[a[i][j]]=++tot;
			X[tot]=i,Y[tot]=j;
		}
		sum+=s[i];
	}
	if (sum%n) return !printf("No");
	sum/=n;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=1;j<=a[i][0];++j)
		if (dfn.count(sum-(s[i]-a[i][j]))){
			int x=dfn[a[i][j]],y=dfn[sum-(s[i]-a[i][j])];
			if (X[x]==X[y]&&Y[x]!=Y[y]) continue;
			nxt[x]=y,++deg[y];
		}
	}
	for (int i=1;i<=tot;++i) if (!deg[i]) q.push(i);
	while (!q.empty()){
		int x=q.front(); q.pop();
		if (nxt[x]&&!(--deg[nxt[x]])) q.push(nxt[x]);
	}
	for (int i=1,flag;i<=tot;++i)
	if (deg[i]&&!v[i]){
	    S=1<<(X[i]-1),flag=v[i]=1,pre[nxt[i]]=i;
		for (int x=nxt[i];x!=i;x=nxt[x]){
			if ((S>>(X[x]-1))&1) flag=0;
		    pre[nxt[x]]=x,v[x]=1,S|=1<<(X[x]-1);
		}
		if (!flag||!ans[S].empty()) continue;
		ans[S].push_back(i);
		for (int x=nxt[i];x!=i;x=nxt[x]) ans[S].push_back(x);
	}
	for (int i=1;i<=al;++i)
	if (ans[i].empty()){
		for (int j=i&(i-1);j;j=(j-1)&i)
		if (!ans[j].empty()&&!ans[i^j].empty()){
			ans[i]=ans[i^j];
			for (int k=0;k<xo[j];++k)
			    ans[i].push_back(ans[j][k]);
		}
	}
	if (ans[al].empty()) return !printf("No");
	sort(ans[al].begin(),ans[al].end());
	printf("Yes\n");
	for (int i=0;i<n;++i){
		int now=ans[al][i];
		printf("%d %d\n",a[X[now]][Y[now]],X[pre[now]]);
	}
	return 0;
}