【2022 省選訓練賽 Contest 18 A】B（Splay）
阿新 • • 發佈：2022-03-25
B
題目連結：2022 省選訓練賽 Contest 18 A
題目大意
給你 n 個點，每個點第 i 天的代價是 b[i]+(i-1)a[i]。
然後要你在前 m 天每天選一個點，然後最小化總代價。
思路
首先考慮怎麼 DP，觀察到如果你選好的一個點集，你可以很容易的得到最優的選的方案。
即按 \(a_i\) 從大到小排，然後每次依次選，這樣增長的量就會最小。
我們可以按 \(a_i\) 從大到小排序來 DP，設 \(f_{i,j}\) 為搞定前 \(i\) 個，選了 \(j\) 個的最小費用。
然後每次下一個選或者不選轉移，顯然超時。
考慮維護每個 \(f_i\) 陣列，亦或者說是看一個新的數會產生什麼。
然後有一些性質。
首先就是 \(f_{i,j}\) 的點集必定是 \(f_{i,j+1}\) 點集的子集，你可以用反證法來得到。
（反正意思就是你不選這個點集的肯定不如 \(f_{i,j}\) 的點集加上一個數更優）
然後接著就是加入一個數，它能修改的範圍一定是一段字尾。
這個也是可以通過反證法得到，根據前面的性質就有了。
那我們就可以通過二分出貢獻的字尾。
然後你要支援區間插入，區間加，區間二分，可以用平衡樹來實現。
（過程就是維護每個點當前代表的選的個數，以及新選這個需要的費用）
（那你貢獻就是一個區間加值，就是後面的一段都要加上你這個 \(a_i\)，因為你每往後一個位置，就多了 \(a_i\)
程式碼
#pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize(3) #pragma GCC target("avx") #pragma GCC optimize("Ofast") #pragma GCC optimize("inline") #pragma GCC optimize("-fgcse") #pragma GCC optimize("-fgcse-lm") #pragma GCC optimize("-fipa-sra") #pragma GCC optimize("-ftree-pre") #pragma GCC optimize("-ftree-vrp") #pragma GCC optimize("-fpeephole2") #pragma GCC optimize("-ffast-math") #pragma GCC optimize("-fsched-spec") #pragma GCC optimize("unroll-loops") #pragma GCC optimize("-falign-jumps") #pragma GCC optimize("-falign-loops") #pragma GCC optimize("-falign-labels") #pragma GCC optimize("-fdevirtualize") #pragma GCC optimize("-fcaller-saves") #pragma GCC optimize("-fcrossjumping") #pragma GCC optimize("-fthread-jumps") #pragma GCC optimize("-funroll-loops") #pragma GCC optimize("-fwhole-program") #pragma GCC optimize("-freorder-blocks") #pragma GCC optimize("-fschedule-insns") #pragma GCC optimize("inline-functions") #pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge") #pragma GCC optimize("-fschedule-insns2") #pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing") #pragma GCC optimize("-fstrict-overflow") #pragma GCC optimize("-falign-functions") #pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks") #pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps") #pragma GCC optimize("-fsched-interblock") #pragma GCC optimize("-fpartial-inlining") #pragma GCC optimize("no-stack-protector") #pragma GCC optimize("-freorder-functions") #pragma GCC optimize("-findirect-inlining") #pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads") #pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop") #pragma GCC optimize("inline-small-functions") #pragma GCC optimize("-finline-small-functions") #pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion") #pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls") #pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations") #pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations") #pragma GCC optimize("inline-functions-called-once") #pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks") #include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int N = 1e6 + 100; struct node { ll a, b; }a[N]; int n, k, rt; ll ans; ll re; char c; ll read() { re = 0; c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') c = getchar(); while (c >= '0' && c <= '9') { re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0'; c = getchar(); } return re; } bool cmp(node x, node y) { return x.a > y.a; } ll clac(int x, ll k) { return (k - 1) * a[x].a + a[x].b; } struct SPLAY { int tot, pl[N], ls[N], rs[N], lzyp[N], fa[N]; ll val[N], lzyv[N]; bool lrs(int x) {return ls[fa[x]] == x;} int newpoint(int x, ll k) { int now = ++tot; val[now] = k; pl[now] = x; return now; } void downv(int x, ll va) { val[x] += va; lzyv[x] += va; } void downp(int x, int p) { pl[x] += p; lzyp[x] += p; } void down(int now) { if (lzyv[now]) { if (ls[now]) downv(ls[now], lzyv[now]); if (rs[now]) downv(rs[now], lzyv[now]); lzyv[now] = 0; } if (lzyp[now]) { if (ls[now]) downp(ls[now], lzyp[now]); if (rs[now]) downp(rs[now], lzyp[now]); lzyp[now] = 0; } } void rotate(int x) { int y = fa[x], z = fa[y]; int b = lrs(x) ? rs[x] : ls[x]; if (z) (lrs(y) ? ls[z] : rs[z]) = x; if (lrs(x)) rs[x] = y, ls[y] = b; else ls[x] = y, rs[y] = b; fa[x] = z; fa[y] = x; if (b) fa[b] = y; } void Splay(int x) { while (fa[x]) { if (fa[fa[x]]) { if (lrs(x) == lrs(fa[x])) rotate(fa[x]); else rotate(x); } rotate(x); } rt = x; } int get(int p) { int now = rt, re = p; while (now) { down(now); if (val[now] < clac(p, pl[now])) now = rs[now]; else re = pl[now], now = ls[now]; } return re; } void insert(int x) { int now = rt; while (1) { down(now); int tmp = pl[now] < pl[x] ? rs[now] : ls[now]; if (!tmp) { (pl[now] < pl[x] ? rs[now] : ls[now]) = x; fa[x] = now; break; } else { now = tmp; } } Splay(x); } void count(int now) { if (pl[now] <= k) ans += val[now]; down(now); if (ls[now]) count(ls[now]); if (rs[now]) count(rs[now]); } }T; int main() { n = read(); k = read(); for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = (node){read(), read()}; sort(a + 1, a + n + 1, cmp); rt = T.newpoint(1, clac(1, 1)); for (int i = 2; i <= n; i++) { int pl = T.get(i); T.insert(T.newpoint(pl, clac(i, pl))); if (T.rs[rt]) { T.downp(T.rs[rt], 1); T.downv(T.rs[rt], a[i].a); } } T.count(rt); printf("%lld", ans); return 0; }