分析：

本題考查差分約束。如果一個系統由n個變數和m個約束條件組成，其中每個約束條件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),則稱其為差分約束系統(system of difference constraints)。亦即，差分約束系統是求解關於一組變數的特殊不等式組的方法。簡而言之，差分約束就是用來求解一種特殊的不等式組，這種不等式組裡面不等式的格式都是類似於Xa <= Xb + c這種形式，差分約束問題可以用求單源最短路的演算法來求解，一般使用spfa演算法求解。

1.差分約束問題與最短路問題的聯絡

在求解最短路的演算法中，核心的語句就是鬆弛操作，即d[v] > d[u] + w，就可以更新d[v]為d[u] + w了。在鬆弛某點v的距離的時候，會考察所有可以到達v的相鄰點，每次從v的相鄰點嘗試去鬆弛v之後，都會有d[v] <= d[u] + w，所以最終最短路徑上d[v] = min(d[i] + w[i])。如果將d[v]看作Xa，所有與之相鄰的點看作Xb，則求完最短路徑後的{Xa,Xb}的值一定滿足形如Xa <= Xb + c的不等式組的要求，也就是說，可以用spfa求最短路的過程來求解差分約束問題。

2.不等式組解的最小值與最大值

在求最短路的過程中，如果起點s的距離設為0，設從起點到某點t的路徑上依次經過x1，x2，x3三個點，對應的邊權依次是c1，c2，c3。則有x1 <= s + c1，x2 <= x1 + c2，x3 <= x2 + c3，可以推出x3 <= x2 + c3 <= x1 + c2 + c3 <= s + c1 + c2 + c3，s在這裡是定值，可以看出x3的值不會超過s + c1 + c2 + c3，也就是可以找到x3的最大值，但是不一定能夠知道x3的最小值，其他變數x1，x2也均有個上限，所以求最短路得到的解實際上是不等式組的最大解。當然，在鬆弛過程中d[v] = min(d[i] + w[i])，也就是為了滿足所有的約束條件，d[v]實際上是取所有鬆弛結果的最小值的。

再來考察求最長路的過程，將求最短路的鬆弛條件倒過來就可以求最長路了，即d[v] < d[u] + w時，就更新d[v]為d[u] + w，最後d[v] = max(d[i] + w[i])，也就是求完最長路後d[v] >= d[u] + w。同樣的如果起點s的距離設為0，設從起點到某點t的路徑上依次經過x1，x2，x3三個點，對應的邊權依次是c1，c2，c3。則有x1 >= s + c1，x2 >= x1 + c2，x3 >= x2 + c3，可以推出x3 >= x2 + c3 >= x1 + c2 + c3 >= s + c1 + c2 + c3，s在這裡是定值，可以看出x3的值不會小於s + c1 + c2 + c3，這樣就求出了x3的最小值了，也就是說最長路可以求出不等式組的最小解。注意，最長路演算法求解的是形如xa >= xb + c這種形式的不等式。

3.無約束的變數與無解情況

假設圖中有一點是孤立的，與其他點沒有關聯邊，則對應差分約束問題中的變數就是不受約束的，可以取任意值。再來考察無解的情況，如果求最短路時存在負環，假設負環上的點有x1，x2，x3，則有x2 <= x1 + c1，x3 <= x2 + c2，x1 <= x3 + c3，可以推出x1 <= x3 + c3 <= x2 + c2 + c3 <= x1 + c1 + c2 + c3，又c1 + c2 + c3 < 0（存在負環），所以x1 <= x1 + c1 + c2 + c3 < x1得出了x1 < x1的矛盾結論了，所以spfa演算法如果求出了負環則說明差分約束問題無解。

求最長路時如果存在正環，設正環上的點有x1，x2，x3，則有x2 >= x1 + c1，x3 >= x2 + c2，x1 >= x3 + c3，可以推出x1 >= x3 + c3 >= x2 + c2 + c3 >= x1 + c1 + c2 + c3，又c1 + c2 + c3 > 0（存在正環），所以x1 >= x1 + c1 + c2 + c3 > x1得出了x1 > x1的矛盾結論了。

4.差分約束問題的建圖

找到了spfa演算法可以求解差分約束問題，下面需要做的就是將不等式組轉化為圖。建圖的過程深刻的反映了求最短路最長路與差分約束問題的關聯。比如x1 <= x2 + 1，是建一條x2到x1長度為1的邊，還是建一條x1到x2長度為-1的邊呢？在最短路問題中，我們需要x1 <= x2 + c這種形式的不等式，遇見x1 >= x2 + 1形式的不等式就 轉化為了x2 <= x1 - 1，從而建立了x1到x2長度為-1的邊。而在最長路問題中，遇見x1 >= x2 + 1可以建一條x2到x1長度為1的邊，遇見x1 <= x2 + 1這種形式的不等式可以轉化為x2 >= x1 - 1，建立起了x1到x2長度為-1的邊。從而得出了一個重要結論：同一個不等式在最長路和最短路問題中建圖的方向是相反的，建立的邊權互為相反數，比如x1 <= x2 + 1，最短路問題是建一條x2到x1長度為1的邊，而在最長路問題中則是建一條x1到x2長度為-1的邊（x2 >= x1 - 1）。

其他型別的不等式：對於x1 < x2 + c形式的不等式，可以轉化為x1 <= x2 + c - 1形式；對於x1 = x2形式的不等式，可以轉化為x1 <= x2和x2 <= x1兩個不等式。

由於建的圖不一定連通，所以為了保證從起點出發一定能到達所有點，一般會建一個超級源點，從這個超級源點向各個點引一條長度為0的邊，即在不等式組中加上了x0 <= x1,x0 <= x2,...,x0 <=xn這麼多不等式。

下面迴歸本題，由於每個小朋友都需要分到糖，所以某個變數都不能小於1，所以建圖時可以由x0向各點引一條長度為1的邊，因為要求x1 >= 1等價於x1 >= x0 + 1,x0 = 0。本題是求差分約束的最小解，所以需要求最長路。spfa演算法求最長路時需要將距離陣列初始化為負無窮，當存在正環時存在某個點會一直被更新，所以更新超過一定次數後就說明無解。本題的spfa使用佇列會超時，所以要用棧替換佇列。