平衡樹 - FHQ 學習筆記
平衡樹 - FHQ 學習筆記
本片文章的姊妹篇：平衡樹 - Splay 學習筆記。
感覺完全不會平衡樹，又重新學習了一遍 FHQ，一口氣把常見套路都學完了。
一、大致內容及分類
FHQ，全稱非旋轉 Treap，是一種可以用於維護按權值、排名分裂的資料結構。它相比與 Splay 雖然常數較大，但是實現起來程式碼難度相對容易，而且由於它非旋的特點，也可以用來實現可持久化。
既然叫做非旋 Treap，它兼有 Treap 的特點又有非旋轉獨特的優勢。
- 從 Treap 角度看，他們同樣都是依賴修正值
rnd是隨機的，用將他們按照rnd形成一個小根堆。與 Treap 相同，它也滿足笛卡爾樹的性質，它的中序遍歷和它的插入順序相同，即 \(1\) 到 \(n\) 的序列。 - 從非旋角度看，FHQ 直接通過
split和merge操作實現新增、刪除元素，不用再樹上旋轉了。
根據不同題目要求，將平衡樹分為序列平衡樹和權值平衡樹。
- 序列平衡樹的中序遍歷為每個元素的下標，權值為每個元素具體的值，常見題型為區間翻轉等。
- 權值平衡樹的中序遍歷是所有元素的排名，即按照中序遍歷提取所有元素後元素權值遞增，常見操作為全域性第 \(k\) 大等。
如果毒瘤出題人同時綜合了以上兩種操作，即區間翻轉 \(+\) 區間第 \(k\) 大，應該怎麼做呢？好吧，如果真是這樣，這篇文章可能不能夠幫到你，用用樹套樹吧。
二、基本操作
FHQ 的核心操作就是 split 出操作區間，操作完後 merge 回去。
下邊講解中預設的平衡樹型別為權值平衡樹，序列平衡樹其實是將某些 \(val\) 改為了 \(siz\)。
分裂 split
無論是按照排名還是權值分裂，他們都是將原樹分為左右兩半，可以利用中序遍歷的性質進行分裂。
具體操作時，我們新建兩個臨時變數 \(x,y\) 分別表示分裂出來的左邊、右邊的那顆平衡樹。
如果我們遇到一個應該屬於 \(x\) 樹的節點，就將這個點以及這個點的左子樹加入 \(x\) 樹中，並遞迴分裂右子樹；如果遇到屬於 \(y\) 的，就將這個點與它的右子樹加入 \(y\) 樹中，並遞迴分裂左子樹。
可以寫出虛擬碼如下：
void split(int p,int k,int &x,int &y) // 分裂出 (-infty,k],(k,+infty)
{
if(!p) { x=y=0; return; }
pushdown(p);
if(tree[p].val<=k) x=p,split(tree[p].pr,k,tree[x].pr,y);
else y=p,split(tree[p].pl,k,x,tree[y].pl);
pushup(p);
}
合併 merge
由於這是 FHQ 的 merge，需要在合併時既保證小根堆性質又不破壞中序遍歷的特點，對合並的兩棵樹有特殊的要求：左右區間不能夠相交或者順序顛倒！
所以我們在合併時必須按照順序從左到右合併。
具體操作時，可以直接將 rnd 小的作為新樹的根節點，如果這個根節點來自左子樹就遞迴右子樹，相反來自右子樹就遞迴左子樹（由於滿足上面區間不相交也不顛倒的特點）。
寫出虛擬碼：
int merge(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(tree[x].rnd<tree[y].rnd)
pushdown(x),tree[x].pr=merge(tree[x].pr,y),pushup(x);
else
pushdown(y),tree[y].pl=merge(x,tree[y].pl),pushup(y);
}
新建節點 new
沒什麼可說的，就是給新節點附一個隨機的 rnd。
inline int New(int Val)
{
tree[++cnt].rnd=rand();
tree[cnt].val=Val;
tree[cnt].siz=1;
tree[cnt].pl=tree[cnt].pr=0;
return cnt;
}
插入 insert
直接分裂出兩端區間，把新建的加點放到兩棵樹中間在合併即可。
inline void Insert(int val)
{
split(root,val,x,y);
root=merge(merge(x,New(val)),y);
}
刪除 delete
FHQ 可以實現刪除一個數或刪除這個值的所有數，唯一區別就在於分裂時的不同。
inline void Delete_one(int val)
{
split(root,val,x,z);
split(x,val-1,x,y);
root=merge(x,z);
}
inline void Delete_all(int val)
{
split(root,val,x,z);
split(x,val-1,x,y);
y=merge(tree[y].pl,tree[y].pr);
root=merge(merge(x,y),z);
}