矩陣樹定理學習筆記

阿新 • • 發佈：2021-07-18

全是在抄寫 czy 的課件，其實也不是很全面和嚴謹。

矩陣行列式

定義

矩陣 $A$ 行列式記為 $\det(A)$ 或 $|A|$。

\[\det(A)=\sum_{\text{$p$ 為 $1\dots n$ 的全排列}}(-1)^{\text{$p$ 的逆序對數}}\prod_{i}A_{i,p_i} \]

性質

$A$ 中某一行（列）同乘 $k$，行列式乘 $k$。
$\det(A)=\det(A^T)$。
$A$ 交換兩行（列），行列式乘 $-1$；
因為交換兩行會使所有排列 $p$ 逆序對數 $+1$ 或 $-1$。
$A$ 中存在兩行（列）相等，行列式為 $0$

；
因為若 $r_1,r_2$ 兩行相等，那麼包含 $A_{r_1,i},A_{r_2,j}$ 的排列和包含 $A_{r_1,j},A_{r_2,i}$ 的排列一一對應，乘積相等，符號相反。
$A$ 中某一行（列）各元同乘一個數加到另一行（列）對應元上，行列式不變；
因為行列式是關於某一行（列）的線性函式，在其它行不變的情況下，某一行相加，行列式也就相加；
可以將 $A'$ 拆分成 $A$ 和一個行列式為 $0$ 的矩陣的和。

約定與定義

無向圖（有向圖）$G=(V,E)$。
$n=|V|$，$m=|E|$。
關聯矩陣 $M(G)[n\times m]$

：

\[M_{i,j}=\begin{cases} -1&\text{$v_i$ 是 $e_j$ 的起點}\\ 1&\text{$v_i$ 是 $e_j$ 的終點}\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} \]

當 $G$ 為無向圖時，每條邊是隨意定向的。

$M$ 的簡約關聯矩陣 $M_0[(n-1)\times m]$，是 $M$ 去掉最後一行得到的。
$M$ 的抽列矩陣 $M_0(S)[(n-1)\times (n-1)]$，其中 $S\subseteq E$ 是大小為 $n-1$ 的邊集。
拉普拉斯矩陣 $L(G)[n\times n]$

：

\[L_{i,j}=\begin{cases} -m_{i,j}&i\neq j,~\text{$i,j$ 之間有 $m_{i,j}$ 條邊}\\ \mathrm{deg}(v_i)&i=j \end{cases} \]

Lemma I

\[M\times M^T=L \]

\[\begin{aligned} (M\times M^T)_{i,j}&=\sum_k M_{i,k}\times M^T_{k,j}\\ &=\sum_k M_{i,k}\times M_{j,k} \end{aligned} \]

若 $i\neq j$，$M_{i,k}\times M_{j,k}=-1\times [e_k\in E]$，所以 $\text{上式}=-m_{i,j}$；
若 $i=j$，$M_{i,k}\times M_{j,k}=(M_{i,k})^2=[e_k\in E]$，所以 $\text{上式}=\mathrm{deg}(v_i)$。

Lemma II

設 $S\subseteq E$，$|S|=n-1$，$G'=(V,S)$，則
\[\det(M_0(S))=\pm[\text{$G'$ 構成樹}] \]

若 $G'$ 不構成樹，那麼 $M_0$ 會存在若干列線性相關，行列式為 $0$。

若 $G'$ 構成樹：

取樹上的點拓撲排序後前 $n-1$ 個點，記為 $u_1,u_2\dots u_{n-1}$，以及其對應邊 $c_1,c_2,\dots c_{n-1}$。

交換 $M_0$ 的行，使得第一行對應 $u_1$，第二行對應 $u_2$……

交換 $M_0$ 的列，使得第一列對應 $c_1$，第二列對應 $c_2$……

此時 $M_0$ 變為下三角矩陣，主對角線乘積為 $\pm 1$，行列式為 $\pm 1$。

Binet-Cauchy 定理

設 $A[n\times m],B[m\times n]$，則
\[\det(A\times B)=\sum_{\substack{S\subseteq \{1,2,\dots m\}\\|S|=n}}\det(A[S])\times\det(B[S]) \]
其中 $A[S]$ 表示取出列集合為 $S$ 的子矩陣，$B[S]$ 表示取出行集合為 $S$ 的子矩陣。

太頂了，看不懂證明。

特別地，當 $A,B$ 是同階方陣時，$\det(A\times B)=\det(A)\times \det(B)$。