AGC001E
AT1983

首先我是完全不會，所以學習了別人的小想法。

樸素的演算法是\(O(n^2)\)的，因此一定會炸，所以我們要將\(i\)和\(j\)分離，以求得一個\(O(n)\)或與\(n\)無關的演算法

但是萬惡的組合數讓我們毫無頭緒，這時，你會發現，你迷失在了數字的海洋裡

為了改變現狀，你決定，成為偶像 考慮組合數的組合意義

\(C_{x + y}^{x}\)可以表示為從點\((0,0)\)到\((x,y)\)的走法數量

因此\(C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}\)表示為從點\((0,0)\)到\((a_i+a_j,b_i+b_j)\)的走法數量

把原點平移一下，\(C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}\)

考慮把所有的\((-a_i,-b_i)\)標記+1，

然後\(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]\)遞推

統計所有\((a_i,b_i)\)的\(dp\)值的和

但是這樣會重複，對於原題的式子\(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} C_{a_i+a_j+b_i+b_j}^{a_i+a_j}\)，我們算了\(i == j\) 時的情況，同時每對\((i,j)\)還算了兩遍

減去即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2050;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
int a[200050],b[200050];
int dp[N << 1][N << 1];

long long fac[10050];
long long inv[10050];
long long ksm(long long x,int y){
    long long z = 1;
    while(y){
        if(y & 1) z = z * x % mod;
        y >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return z;
}
long long C(int n,int m){
    if(n < m || m < 0) return 0;
    if(n == m || m == 0) return 1;
    return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

int main(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 10000; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[10000] = ksm(fac[10000],mod - 2); 
    for(int i = 9999; i >= 0; -- i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;

    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) 
    scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    dp[2001 - a[i]][2001 - b[i]] += 1;
    
    for(int i = 1; i <= 4005; ++ i)
    for(int j = 1; j <= 4005; ++ j){
        dp[i][j] += (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % mod;
        dp[i][j] %= mod;
    }
   
    long long ans = 0;
    
    /*for(int i = 1998; i <= 2003; ++ i) {
    for(int j = 1999; j <= 2002; ++ j)
    printf("%d ",dp[i][j]);
    puts("");
    }*/
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
    	//printf("%d\n",dp[2001 + a[i]][2001 + b[i]]);
    	ans = ans + dp[2001 + a[i]][2001 + b[i]], ans %= mod;
    }
    
    //printf("%lld\n",ans);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        ans -= C(a[i] + a[i] + b[i] + b[i], a[i] + a[i]);
        ans = (ans + mod) % mod;
    }
    
    ans = ans * ksm(2, mod - 2) % mod;
    
    printf("%lld\n",ans);
    
    return 0;
}