題目：劍指 Offer 14- I. 剪繩子

優質解答1：數學推導（參考自K神）

由題知，\(n=n_1+...+n_m\)，我們要求\(max(n_1\cdot n_2\cdot ... \cdot n_m)\)，由算術幾何均值不等式\(\frac{n_1 + n_2+...+n_m}{m}\geq \sqrt[m]{n_1n_2...n_m}\)，等號在\(n_1=n_2=...=n_m\)處取得，所以當繩子均分時得到乘積最大，我們設每段長x，則有\(n=mx\)，乘積為\(x^m\)，令\(y=x^m=x^{\frac{n}{x}}=(x^{\frac{1}{x})^n}\)，求此時的最大值等價於求\(y=x^{\frac{1}{x}}\)

令\(y'=0\)，可得\(x=e\)，當\(x<e\)時，\(y'>0\)，函式遞增；當\(x>e\)時，\(y'<0\)，函式遞減，\(x=e\)為極大值點。
因為x要取整數，所以x需要在2和3之間選一個，比較\(2^\frac{1}{2}\)和\(3^\frac{1}{3}\)，同時乘六次方得\(2^3<3^2\)，所以x取3時，函式值更大。
時間：\(O(N)\)

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        # K神原始碼，時間O(1)，空間O(1)
        if n <= 3: return n - 1
        a, b = n // 3, n % 3
        if b == 0: return int(math.pow(3, a))
        if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
        return int(math.pow(3, a) * 2)
        # 參考自鬱郁雨
        if n < 4:   return n - 1
        res = 1
        while n > 4:
            res *= 3
            n -= 3
        return res * n
 

優質解答2：動態規劃

設定dp陣列儲存長度為0~n的最終結果，外迴圈代表繩子的長度，內迴圈代表最後一刀截的長度，如果為1則對乘積無影響，所以從2開始，截一刀之後需要看當前長度乘剩下的長度（未切）的乘積與當前長度乘剩下長度（切過）最大值的乘積的大小，然後再與完全不剪dp[i]作比較。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(2, i):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i-j), j * dp[i-j]))
        return dp[n]