數學/數論專題-學習筆記：概率與期望
1. 前言
概率我們很熟，在數學課本里面我們就已經學到過概率的基本定義以及計算方式。
期望我們不熟，他與概率密切相關，計算方式基於概率。
2. 定義
概率的計算方式不必我多說，各位在數學課中都有了解。
而期望，從某種意義上來講其實就是一個加了權值的概率。
我將使用一個例子來說明期望是什麼：
假設某一天小 z 有一場滿分為 100 分的數學考試。他媽媽說：“兒子，如果你能夠考到 80 分以上（不含 80），那麼我將獎勵你 100 元；如果你能夠考到 60 分以上（不含 60），80 分以下（含 80），那麼我將獎勵你 50 元；如果你能夠考到 30 分以上（不含 30），60分以下（含 60），那麼我將獎勵你 30 元；否則你將得不到任何獎勵。”
但很不幸的是，小 z 數學考試的時候發揮失常，成績為 \([1,100]\) 內一個等概率的數，那麼請問小 z 得到的期望錢數是多少？
備註：本場考試很難
我個人認為這個例子最能夠解釋期望的定義。
先列一張表格：
| 分數區間 | 錢數 | 概率 |
|---|---|---|
| \((80,100]\) | 100 | 20% |
| \((60,80]\) | 50 | 20% |
| \((30,60]\) | 30 | 30% |
| \((1,30]\) | 0 | 30% |
假設小 z 得到的期望錢數為 \(e\)，那麼計算公式如下：
\[e=100 \times 20\% + 50 \times 20\% + 30 \times 30\% + 0 \times 30\%=39 \]對比上面那個表格我們會發現：期望就是所有事件發生的概率乘上其代價或價值。
所以期望的定義：
設 \(E(x)\) 為 \(x\) 事件的期望，\(x_i(i \in [1,n])\) 為在 \(x\) 事件中可能會發生的 獨立 的事件，\(P(x_i)\) 為其概率，\(V(x_i)\) 為其代價或價值，那麼：
\[E(x)=P(x_1) \times V(x_1) + P(x_2) \times V(x_2) + ... + P(x_n) \times V(x_n) \]化簡如下：
\[E(x) = \sum_{i=1}^{n}{(P(x_i) \times V(x_i))} \]也就是概率乘以代價的總和。
這就是期望的定義。
3. 理解
對於一個事件數確定的 \(x\)
- 定義。
- 帶權平均數。
假設目前已有事件 \(x_{1...n}\) 以及概率 \(P(1...n)\)（使用下標或者括號是一個意思）和代價 \(V(1...n)\)，而且所有概率都能統一表示成 \(\dfrac{p_i}{k}\) 的形式（也就是通分），那麼我們令第一個事件發生 \(p_1\) 次，第二個事件發生 \(p_2\) 次，以此類推，得到一個代價總和 \(val\)，除以 \(k\) 就是期望 \(E(x)\)。
什麼意思？還是上面那個例子。
| 編號 | 分數區間 | 錢數 | 概率 |
|---|---|---|---|
| 1 | \((80,100]\) | 100 | 20% |
| 2 | \((60,80]\) | 50 | 20% |
| 3 | \((30,60]\) | 30 | 30% |
| 4 | \((1,30]\) | 0 | 30% |
在這個例子中，我們可以認為事件 1 發生 20 次，事件 2 發生 20 次，事件 3 發生 30 次，事件 4 發生 30 次，總共發生 100 次，那麼期望也可以這麼算：
\[e = \dfrac{100 \times 20 + 50 \times 20 + 30 \times 30 + 0 \times 30}{100}=39 \]所以之前提到過，期望從某種意義上就是加了權值的概率。
這個還是有窮狀態的 \(x\)，我們知道有哪幾件事，他們發生的概率，代價等等。
但是有一些事件，我們根本不知道事件個數為多少，或者個數為正無窮，那麼這樣我們不知道概率，代價，怎麼算期望呢？
4. 期望方程
這個時候就要請出期望方程了。
期望方程首先是一個方程，其次，裡面的未知數是期望 \(e\)。
還是使用一個例子。
小 z 在考完數學考試後拿到 100 元錢，非常高興，在拋硬幣。話說這兩者有關係嗎
假設他從第一次開始拋，請問：丟擲連續三次正面的期望次數是多少？
如果你不知道期望方程，那麼你一定暈了：這是什麼問題啊？事件個數不知道、概率不知道、代價也不知道······萬一無窮無盡拋不完呢？這難道也有期望嗎？
而期望方程，就是解決這一類問題的。
假設期望次數為 \(e\)。在這道題中，代價為丟擲的次數。
小技巧：一般情況下，題目問什麼，什麼就是期望的代價。
如果第一次拋，小 z 拋到了反面，那麼很遺憾，這一次作廢了，花費了 1 次，而接下來還要再花 \(e\) 次才能丟擲連續三個正面（相當於從頭開始拋），那麼本次概率乘以代價為 \(\dfrac{1}{2} \times (e+1)\)。
如果第一次為正，第二次為反，那麼很遺憾，小 z 還要再從頭拋，花費了 2 次，接下來還要花費 \(e\) 次，那麼本次概率乘以代價為 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+2)\)。
如果前兩次都為正，第三次為反，那麼小 z 只能認命，從頭拋，花費了 3 次，接下來還要花費 \(e\) 次，那麼本次概率乘以代價為 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+3)\)。
最後，小 z 丟擲了連續三個正面！概率乘以代價為 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times 3\)。
由期望的定義：概率乘以代價的總和 可知：
\[e = \dfrac{1}{2} \times (e+1) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+2) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+3) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times 3 \]解這個方程，得 \(e = 14\)。
所以連續扔出 3 個正面的期望次數為 14 次。
這就是期望方程。
一般我們列期望方程解決期望問題的時候要注意以下幾點：
- 確定這個問題事件數是否可以確定，如果可以確定且方便的情況下直接定義式計算。
- 事件數無窮時，我們需要考慮到每一種情況，確認其概率以及代價，此時的代價可能會含 \(e\)，這也體現了無窮的特性。
- 方程不要解錯。
我才不會告訴你上面那個例題我的方程一開始解錯了。
期望方程可以說是期望中的重難點，而很多的期望 dp 也是基於期望方程的。期望 dp 放在另外一篇文章裡面講。
5. 總結
期望定義：
設 \(E(x)\) 為 \(x\) 事件的期望，\(x_i(i \in [1,n])\) 為在 \(x\) 事件中可能會發生的 獨立 的事件，\(P(x_i)\) 為其概率，\(V(x_i)\) 為其代價或價值，那麼：
\[E(x)=P(x_1) \times V(x_1) + P(x_2) \times V(x_2) + ... + P(x_n) \times V(x_n) \]化簡如下：
\[E(x) = \sum_{i=1}^{n}{(P(x_i) \times V(x_i))} \]也就是概率乘以代價的總和。
代價理解：
- 定義。
- 帶權平均數。
列期望方程解決期望問題：
- 確定這個問題事件數是否可以確定，如果可以確定且方便的情況下直接定義式計算。
- 事件數無窮時，我們需要考慮到每一種情況，確認其概率以及代價，此時的代價可能會含 \(e\)，這也體現了無窮的特性。
- 方程不要解錯。