DP專題-學習筆記：懸線法 DP
1. 前言
懸線法 DP，是一種 DP，用來處理矩陣類問題。
這種 DP 一般處理的問題長這樣：
給出一個 \(n \times m\) 的矩陣，問滿足條件的最大子矩陣的面積是多少？
當然也可以問邊長之類的。
這類問題通常有非懸線法 DP 的解法，但是懸線法 DP 往往能夠減小思維量，減小出錯率。
2. 詳解
例題：P1387 最大正方形
這道題有兩種方法：普通 DP 與 懸線法 DP。
普通 DP？
設 \(f_{i,j}\) 表示處理到 \(a_{i,j}\) 時的最大值，那麼有轉移方程：
\[f_{i,j}=\min\{f_{i-1,j},f_{i,j-1},f_{i-1,j-1}|a_{i,j}=1\}+1 \]轉移方程應該還是好想的吧。
那麼普通 DP 以優秀的表現通過了這道題。
那麼懸線法 DP 呢？
懸線法 DP 的一般思路就是：處理出每一個點向左（\(l_{i,j}\)），向右（\(r_{i,j}\)）能夠擴充套件的 位置，以及向上（\(Up_{i,j}\)）能夠擴充套件的 距離。
什麼意思呢？看下面這張圖。
這樣做有什麼用處嗎？
好處就是：如果我們以 \((i,j)\) 為矩形的底邊，那麼這個最大子矩形實際上就已經確定了！
因為我們知道往左邊能最多擴充套件多少，往右邊最多擴充套件多少，往上面還能夠擴充套件多少，如圖：
那麼首先我們要預處理一下 \(l,r,Up\)，遞推式如下：
\[l_{i,j}=l_{i,j-1},r_{i,j}=r_{i,j+1},Up_{i,j}=Up_{i-1,j}+1 \]轉移條件：相鄰兩個全部都符合題意，也就是可以作為一個子矩陣。
初始值：如果 \(a_{i,j}=1\)，\(l_{i,j}=r_{i,j}=j,Up_{i,j}=1\)。
這部分的程式碼如下：
for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= m; ++j) if (a[i][j] == 1) l[i][j] = r[i][j] = j, Up[i][j] = 1;//初始化 for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 2; j <= m; ++j) if (a[i][j] && a[i][j - 1]) l[i][j] = l[i][j - 1];//l for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = m - 1; j >= 1; --j) if (a[i][j] && a[i][j + 1]) r[i][j] = r[i][j + 1];//r for (int i = 2; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= m; ++j) if (a[i][j] && a[i - 1][j]) Up[i][j] = Up[i - 1][j] + 1;//Up
然後如何確定最大子矩陣呢？
如果你的想法是直接用 \(l_{i,j},r_{i,j},Up_{i,j}\) 推答案，那麼考慮一下下面這張圖：
在上圖中，真正的矩形是橙色的矩形，但是如果你直接推答案就會變成黑色的矩形，顯然答案是錯的。
因此我們要對 \(l,r\) 做一點修改。
考慮一下就會發現，\(l,r\) 就是從能夠到達最上面的點，到這個點中原先 \(l,r\) 中的最大/最小值。
那麼遞推式就是這樣：
\[l_{i,j}=\max\{l_{i,j},l_{i-1,j}|a_{i,j}=a_{i-1,j}=1\} \] \[r_{i,j}=\min\{r_{i,j},r_{i-1,j}|a_{i,j}=a_{i-1,j}=1\} \]需要注意第一行不能遞推。
答案：
如果是求矩形的面積，就是 \(\max\{(r_{i,j}-l_{i,j}+1) \times Up_{i,j}|i \in [1,n],j \in [1,m]\}\)
但是因為這道題球的是正方形的邊長，\(r_{i,j}-l_{i,j}+1\) 和 \(Up_{i,j}\) 取最小值即可。
這一部分的程式碼：
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
if ((i ^ 1) && a[i][j] != 0 && a[i - 1][j] != 0)//特別注意第一行不能轉移
{
l[i][j] = Max(l[i][j], l[i - 1][j]);
r[i][j] = Min(r[i][j], r[i - 1][j]);
}
ans = Max(ans, Min(Up[i][j], r[i][j] - l[i][j] + 1));
}
總程式碼：
/*
========= Plozia =========
Author:Plozia
Problem:P1387 最大正方形
Date:2021/3/13
========= Plozia =========
*/
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int MAXN = 100 + 10;
int n, m, a[MAXN][MAXN], l[MAXN][MAXN], r[MAXN][MAXN], Up[MAXN][MAXN], ans;
int read()
{
int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
return (fh == 1) ? sum : -sum;
}
int Max(int fir, int sec) {return (fir > sec) ? fir : sec;}
int Min(int fir, int sec) {return (fir < sec) ? fir : sec;}
int main()
{
n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
a[i][j] = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
if (a[i][j] == 1) l[i][j] = r[i][j] = j, Up[i][j] = 1;//初始化
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 2; j <= m; ++j)
if (a[i][j] && a[i][j - 1]) l[i][j] = l[i][j - 1];//l
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = m - 1; j >= 1; --j)
if (a[i][j] && a[i][j + 1]) r[i][j] = r[i][j + 1];//r
for (int i = 2; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
if (a[i][j] && a[i - 1][j]) Up[i][j] = Up[i - 1][j] + 1;//Up
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
if ((i ^ 1) && a[i][j] != 0 && a[i - 1][j] != 0)//特別注意第一行不能轉移
{
l[i][j] = Max(l[i][j], l[i - 1][j]);
r[i][j] = Min(r[i][j], r[i - 1][j]);
}
ans = Max(ans, Min(Up[i][j], r[i][j] - l[i][j] + 1));
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
3. 練習題
練習題傳送門：DP演算法總結&專題訓練4（懸線法 DP）