斐波那契數學方法

斐波那契的遞推式有\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，可以證明\(\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n-1}&F_{n-2} \end{pmatrix}*A\) ，\(A\)是常量矩陣。

\[\begin{pmatrix}F_3 & F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}F_4 & F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_3&F_2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{2}\\...\\\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-2} \]

\(\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-2}\)

可以用快速冪算，時間複雜度是O(log n)。

快速冪

//算x的k次方
int f(int x, int k)
{
	int t = x, res = 1;
    while(k)
    {
        res *= k&1 ? t : 1;
        t *= x;
        k >>= 1;
    }
}

推廣

如果有遞推式\(F_n = C_1F_{n-1} + C_2F_{n-2}+...+C_kF_{n-k}\)那麼有如下結論：

\[\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1}&...&F_{n-k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n-1} & F_{n-2} & ... & F_{n-k-1} \end{pmatrix} * A，A是一個k*k的常數矩陣。 \]