比賽連結

A. GCD vs LCM

1, n - 3, 1, 1

B. Array Cloning Technique

首先，最後全部相等的元素，肯定是選初始時出現次數最多的元素，記該元素為\(x\)，其出現次數為\(c\)。

然後每次複製，都是新的拷貝中，所有的\(x\)都拷回原陣列。這裡，易得把數拷回原陣列的操作共有\(n - c\)次，然後只剩拷貝的操作了。

第一次複製出來的陣列中包含\(c\)個\(x\)，第二次包含\(2c\)個，第三次包含\(4c\)個，以此類推。

然後模擬一下就好了。

C. Tree Infection

首先，這題只和每個節點的子節點個數有關，將所有非葉子節點的兒子個數記錄下來，注意還有根節點也要算1次。

然後，先infect的點後續可以藉助spread白嫖，所以排個序，貪心先搞兒子個數多的。

然後求最小值就跑個二分。

注意每次spread只能搞一個，就算這個集合中被多次infect了。

D. GCD Guess

比賽的時候就差最後一步沒想明白，錯失上分機會。

首先，從低位開始，每次確定\(x\)的一個位，這樣是可以在30輪內完成的。

對於第\(1\)輪，\(a=2,b=4\)，\(gcd(x+a, x+b) = gcd(x+a, b - a) = gcd(x + a, 2)\)，如果返回結果為\(2\)說明\(x\)最低一位為0，反之為1。

對於第\(i\)輪，\(x\)的低\(i - 1\)位已經確定了，現在要確定其第\(i\)

但是這個做法在最後一輪的時候會因為\(b\)超過\(10^9\)掛掉，所以需要特判。

本來想著用\(gcd(2x,3x) = x\)來判斷，但是發現\(3x\)會超出\(10^9\)，所以改用\(gcd(x + 1, 2x + 2) = x+1\)來判斷。

E. MinimizOR

可以證明，區間\([l, r]\)的答案，一定是在其中最小的\(31\)

區間最小值可以想到線段樹，然後最小的31個數可以每次取完最小就將對應位置改為無窮大，這樣通過31次取最小和單點修改操作就可以獲取最小的31個數，然後算完結果再恢復回去。

證明

命題：如果區間內最大值小於\(2^k\)，那麼區間內的答案一定是在其中最小的\(k+1\)個數中產生。

可以用歸納法證明。

• \(k=1\)的時候顯然成立。

• 假設對於\(k\)成立，則對於\(k+1\)：

  • 如果區間內的數，第\(k+1\)位全為1，那麼答案的第\(k +1\)位為1。答案和只考慮後\(k\)位一樣，結論成立。
  • 如果區間內的數，有大於等於2個第\(k+1\)位為0，那麼答案的第\(k+1\)為為0。此時我們只需要考慮第\(k+1\)位為0的數，前\(k\)位小的數前面加上0還是小，所以結果還是會在之前選出來的最小值中，結論成立。
  • 如果區間內的數，只有1個第\(k+1\)位為0，那麼答案的第\(k +1\)位為1。此時，之前的候選可能和這個第\(k+1\)位為0的數產生新的答案，所以將其加入最小值集合，現在是\(k+2\)個最小值，結論依然成立。