「JOISC 2019 Day4」蛋糕拼接 3
Description
\(n\)個蛋糕，每個蛋糕有\(w_i,h_i\)。選\(m\)個蛋糕滿足\(\sum\limits_{j=1}^mw_{k_j}-\sum\limits_{j=1}^m|h_{k_j}-h_{k_{j+1}}\ |\)
因為蛋糕擺成一個環所以\(k_1=k_{m+1}\)
Solution
我因為最近天天做dp,直接就往dp上想的，其實是思維僵化。
然後本來可以騙46分的，因為沒有考慮到答案可能是負數+資料點捆綁直接寶菱。
dp就字首和優化dp就可以做了，很好寫。
當然前面肯定要想到\(\sum\limits_{j=1}^m|h_{k_j}-h_{k_{j+1}}\ |\)
這樣按\(h\)排序，消除影響。
列舉最後一個選的點\(i\),發現第一個選的點\(j\)是具有決策單調性的（只會打表）
整體二分+可刪對頂堆
這東西挺噁心的，總之我調了好久，經常推翻重來
總結一下：
整體二分：維護兩個指標\(tl\),\(tr\)，複雜度是\(nlog_2^2n\)的因為\(log_2n\)層，每次\([L,R]\)結束時,\(tl=L,tr=R\)。左遞迴開始時肯定是取\([L,R]\)中一個點\(pos\),\(tl=pos,tr=pos\)，左邊遞迴結束時一定是也\(tl=pos,tr=pos\)
當然上面的複雜度證明中，不一定是確切的等於（如 \(tl\) 會有和 \(mid-m+1\) 取 \(min\),每層跟\(mid\)有關總體也是\(nlog_2n\)級別的），易證影響不大/kk。
對頂堆：因為你需要維護前\(m\)大的和(\(sumw\))，如果你只存一個大根堆，刪除或者加入是維護不了的。
因此前\(m\)大的數存入小根堆\(Q1\)裡，其它小的數存入大根堆\(Q2\)，每次加入一個數判斷如果大於\(Q1\)
然後刪除也維護兩個可刪堆\(D1,D2\)。每次刪除的時候判斷刪的數是在\(Q1\)中則加入\(Q2\),反之……
每次取出堆頂前判斷是如果已經在可刪堆內，直接刪了（這是可刪堆的常規操作……）
!!! 這裡我犯過一個錯誤
你維護的\(sumw\)不是你\(Q1\)裡面實際所有值的和。而是裡面沒有在\(D1\)中（沒被刪）的和。
即\(Q1-D1\)才是真正的前\(m\)大。\(Q1\)裡面還存在著一些已經死去的傀儡……
所以實際上\(Q1.size()\)不一定等於\(m\),我們需要單獨維護一個\(sz1\)（這個很簡單）
實現細節：不知道我的實現方式會不會比別人複雜
強制\(Q1\),\(Q2\)的堆頂是存在的（沒被刪），需要每次\(pop()\)後，刪點即可。
Add的就是上面對頂堆說的那堆。
Del比較複雜，如果刪除的是在\(Q1\)中的，用\(Q2.top()\)替代刪除的那個，即把\(Q2.top()\)加入\(Q1\)，刪除的值加入\(D1\)。這樣也保證了\(sz1\)守恆。