動態規劃經典例題

Leetcode509-斐波那契數

• 斐波那契數 （通常用 F(n) 表示）形成的序列稱為 斐波那契數列 。該數列由 0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和、

    public int fib(int n) {
        if(n==0){
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];

    }
 

Leetcode70-爬樓梯

• 假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂
• 每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？
• 輸入：n = 3
• 輸出：3

      public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
 

Leetcode746-使用最小花費爬樓梯

• 給你一個整數陣列 cost ，其中 cost[i] 是從樓梯第 i 個臺階向上爬需要支付的費用。一旦你支付此費用，即可選擇向上爬一個或者兩個臺階。
• 你可以選擇從下標為 0 或下標為 1 的臺階開始爬樓梯。
• 請你計算並返回達到樓梯頂部的最低花費。
• 輸入：cost = [10,15,20]
• 輸出：15

    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp=new int[cost.length+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=0;

        for(int i=2;i<=cost.length;i++){
            dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }

        return dp[cost.length];
    }
 

Leetcode62-不同路徑

• 一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）
• 問總共有多少條不同的路徑？
• 輸入：m = 3, n = 7
• 輸出：28

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp=new int[m][n];
        dp[0][0]=1;
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[0][j]=1;
        }

        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }

Leetcode343-整數劃分

• 給定一個正整數 n ，將其拆分為 k 個 正整數 的和（ k >= 2 ），並使這些整數的乘積最大化。
• 返回 你可以獲得的最大乘積 。
• 輸入: n = 10
• 輸出: 36
• 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

//此題dp十分巧妙
//將 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多個正整數，此時的乘積是 j×(i−j)；
//將 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 繼續拆分成多個正整數，此時的乘積是 j*dp[i-j]；
public class L343 {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[2]=1;

        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i-j;j++){//此處本來j<i
                dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }

        return dp[n];
    }
}

Leetcode96-不同的二叉搜尋樹

• 給你一個整數 n ，求恰由 n 個節點組成且節點值從 1 到 n 互不相同的 二叉搜尋樹 有多少種？返回滿足題意的二叉搜尋樹的種數。
• 輸入：n = 3
• 輸出：5

//此題dp非常巧妙
//注意重要的是二叉樹的結構而不是二叉樹裡面的值
public class L96 {
    public int numTrees(int n) {
        //初始化 dp 陣列
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化0個節點和1個節點的情況
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                //左子樹為j個結點時
                dp[i]+=dp[j]*dp[i-1-j];
            }
        }

        return dp[n];
    }
}