高等數學總複習

雜項

1. 三角不等式

\[||x| - |y|| \leq |x\pm y| \leq |x| + |y| \]

2. \((ln|x|)' = \frac{1}{x}\)

3.極限的一個結論

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} = max (a, b, c)\\ (a, b, c > 0) \] \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^n+x^n+...+x^{n^2}} = max (x, x^2, ...,x^{n^2})\\ (x > 0) \]

4. 初等函式在定義區間內連續

連續函式加減乘除、複合 ——> 結果還是連續

5. $當x\in (0, \pi/2)時，tanx > x > sinx $

一、極限

0. 求極限總論：

處理準則：

1. 定型：若為已定式，直接代入求解；若為未定式，見2；

2. 四化：

   1. 非0代入
   2. 根式化簡
   3. 無窮小 \(\to\) 泰勒，洛必達，四則運算
   4. 冪指函式

3. 必須要分左右極限來求的情況：

   \[e^\infty,1^\infty\\arctan\infty\\ [x](x\to Z) \\|x|\\分段函式 \]

不可區域性代值，除非是非零因子

1. 按照考點劃分

（0）重要極限

\[\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1,\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 \]

(1) 無窮小量

常見等價無窮小替換

和取低階原則

• \(x+\alpha(x) \backsim x\)

關係定理

• \[\lim_{n \to \fbox{} }f(x) = a\Leftrightarrow f(x)=a+\alpha\\ (\alpha 是x \to \fbox{}時的無窮小) \]

兩種常見構造型別

• \(lnf(x),(f(x)\rightarrow1)\)型：\(lnf(x)=ln[1+f(x)-1]\backsim f(x)-1\)
• \(f^{\alpha}(x)-1,(f(x)\rightarrow1)\)型：\([f(x)-1+1]^{\alpha}-1\backsim \alpha[f(x)-1]\)

(2) 常見泰勒

(3)洛必達

• 注意使用條件。洛完結果不唯一就不能洛

(4) 四則運算

• 乘除法中的非0項可以先算

• \(e^f-e^g型：提後者\)

2. 數列極限

(1)定義

• 定義

  \[\lim_{n \to \infty}x_n = A\Leftrightarrow \forall \sigma > 0, |x_n-A|<E\\（\exist N > 0, 當n>N時） \]

• 延伸
  

• 收斂 / 發散

  \[\lim_{n \to \infty}x_n= \begin{cases} A\exists \Rightarrow \{x_n\}收斂於A\\ A不\exists \Rightarrow \{x_n\}發散 \end{cases} \]

• 極限含義

  存在N，其後所有數都接近A

(2)收斂數列的性質

• 收斂一定有界，有界不一定收斂

• 保號性：(要注意是後面才保號，前面無關)

  \[若\lim_{n \to \infty}x_n>0,則n \to \infty時，x_n>0 \]

(3)求極限

• 大前提

  • 不可導（不連續）

  • 不能往0跑

• 1. 轉化為函式（連續化處理）

• 2. 夾逼準則

     \[z_n \leq x_n \leq y_n\\ 同一趨向時，z_n和y_n極限相同 \]

     常用放縮方法：

     1. 分子分母同階時，放縮分母使得分子可加

     2. \[A_1,A_2,...,A_n>0且M = max(A_1,A_2,...,A_n)時，\\M \leq A_1+A_2+...+A_n \leq nM \]

• 3.數列極限求和形式

  • 利用不定積分的計算型定義

(4)證極限

• 原理：單調有界必有極限， 方法：數學歸納法

  0. 在草稿紙上求出極限

  1. 驗證 n = 1時成立

  2. 假設n = k時成立，證明n = k +1時也成立

  3. 證畢

3. 按極限型別劃分

(1) \(\frac{0}{0}\)

• 1. 等價無窮小替換
• 2. 洛必達
• 3. 複雜函式用 泰勒公式 / 麥克勞林替換

(2) \(\frac{\infty}{\infty}\)

• 抓大頭；上下同除最大項；洛必達

(3) \(\infty - \infty\)

• 有分母：通分

• 無分母：分子有理化，倒代換

(4) \(0·\infty\)

• 轉化為 \(\frac{0}{0}\) 或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)

• 注：不要把 $$ln$$ 或 反三角 放分母

(5) \(1^\infty\)

• \(lim u ^ v = e ^{lim v (u-1)},(u \to 1,v \to \infty)\)

(6)$ 0^0 、 \infty^0$

• 用對數恆等式，把指數放下來

• 不要忘了 e ！！！

(7) 求無窮級數的極限

• 由部分推整體

• 與等差等比，定積分等結合

二、導數

1. 定義

• 瞬時變化率

  \[f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

• 增量定義

  \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

• 重要

  \[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

2. 單側導數

• \[f'_+(x_0)=\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ f'_-(x_0)=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

• 重要性質：不可導的絕對值函式\(|x-x_0|\)乘上可導（連續）函式之後變可導

3. 可導與連續

• 常見易錯

  \(f(x)\) 在 \(x_0\)處可導，則\(f'(x)在x_0\)處連續 （錯！，應該為\(f(x)在x_0\)處連續）

  若\(f''(x_0)\exists\)，則\(f'(x)在x_0\)處連續 √

  若\(f''(x_0)\exists\)，則\(f(x)在x_0\)處連續 √

• 分段函式

  分段點上用定義求

4. 求導

（1）必背導數表

（2）反函式求導

• 一階

  \[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)} \]

• 二階

  \[\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \]

（3）高階導數

• 公式法（5條 + 萊布尼茨）

• 泰勒展開

• 遞迴法

（4）引數方程

• 切方 （k為該點導數），法方 （垂直於切方）

• 極座標與引數方程互化

  \[x=r(\theta)cos\theta\\y=r(\theta)sin\theta \]

• 相切：\(f(x_0)=g(x_0)且f'(x_0)=g'(x_0)\)

5. 微分

（1）含義

• 辨析：\(自變數:\Delta x=dx; 因變數:\Delta y \neq dy\)

• \(y=f(x),若滿足 \Delta y=A\Delta x+O(\Delta x),\Delta x\to 0，則y=f(x)可微\)

  其中，\(A\)就是微分\(dy\)，也叫線性主部

（2）幾何意義

• 切線增量\(dy\)（直線），函式增量\(\Delta y\)（曲線） （\(\Delta x \to 0,\Delta y \approx dy\)）

（3）導數的微分學應用

• 規範答案書寫

  除拐點要寫點座標之外，間斷點、極值點、極值、駐點等都填值

• 單調性

  • 單調性誤區

    單點\(f'(x_0)\)不能證明增減

    1. 若\(f'(x_0)>0\)，無法判斷\(f(x)\)在\(x_0\)鄰域內的單調性
    2. 若\(f'(x_0)>0\)且\(f'(x_0)\)在\(x_0\)處連續，則斷\(f(x)\)在\(x_0\)鄰域內單增

  • 單調性的破題方法

    • 6種常見構造方法

• 函式極值

  • 定義

  • 可疑點

  • 第一充分條件

  • 第二充分條件

• 函式最值

  • 連續的函式中，唯一極值點就是最值點

  • 求(a, b)內極值

  • 求f(a) f(b)

  • 比較

• 函式凹凸性

  • 判定

  • 定義

  • 拐點

    • 定義

    • 可疑點

    • 第一充分條件

    • 第二充分條件

• 求漸近線

• 曲率圓

  • 曲率半徑\(R\)，曲率\(k=\frac{1}{R}, k\)越大， 越彎

  • \[k=\frac{|y''|}{[1+y'^2]^{\frac {3}{2}}},且k>0 \]

三、不定積分（記得+C）

1. 含義

• 湊即積

2. 性質

3. 原函式存在性

4. 求不定積分

（1）必背積分表

（2）e^x 類

（3）三角函式類

• 模型題

• 必備轉化公式

• 1碰cos，消

• 奇偶次數

（4）第二類換元積分法

• 注：d x 也要換，別忘了代回

• 三角代換

• 無理根式換元

（5）分部積分

• 規則

• 技巧：乘法公式逆用

（6）有理函式積分

• 直接配的兩類

• 假分式化真分式

• 拆分

  • 括號外決定項數

  • 分子寫比分母低一次的多項式

    • 有括號

    • 無括號

  • 括號內看次方項

四、定積分

1. 定義

（1）計算型定義

（2）基本形式

• 拓展：分為2n份

2. 幾何意義

（1）絕對面積

（2）半圓 橢圓

3. 定積分性質

（1）基本

（2）奇偶性

（3）比較定理

（4）週期性

（5）積分中值定理

4. 求定積分

（1）華萊士公式（點火公式）

（2）第二類換元積分法

• 基本原則：三換

• 輪換對稱性

• 區間再現換元法

5. 變限函式

（1）定理

（2）求導法則

• 標準型

• 非標準型

6. 反常積分

（1）概念

（2）計算

• 先找瑕點

• ∞型：正常算 + lim ∞

• 四則運算

• 伽馬函式

7. 定積分應用

（1）物理

• 變力做功問題

• 水下壓強

（2）極座標

• 定義

• 極直轉換

• 常見平面極座標曲線

  • 心形線

  • 雙扭線

（3）面積 體積

小心正負

平面面積

• 極座標

• 引數方程

旋轉體體積

• x 軸

• y 軸

• x = c

旋轉曲面表面積

平面曲線的弧長

• 弧微分

五、常微分方程

1. 基礎

• 概念

• 一階微分方程判定思路

2. 齊次與非齊次的通解

3. 一階

（1）可分離

（2）齊次

（3）一階非齊次線性

（4）伯努利

4. 高階

（1）二階可降階

（2）二階常係數線性

• 齊次

• 非齊次

（3）尤拉

5. 疊加定理

六、中值定理

1. 索引

2. 閉區間連續函式性質

（1）有界定理

（2）最值定理

（3）介值定理

（4）零點定理

3. 積分中值定理

（1）使用

（2）證明

（3）廣義積分中值定理

4. 微分中值定理

（1）費馬引理

（2）羅爾定理

（3）拉格朗日中值定理

（4）柯西中值定理

（5）泰勒定理

七、多元函式微分學

八、多元函式積分學

1. 概念

（1）含義

絕對體積

\[V = \lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i} = \int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma \]

積分變數\(d\sigma = dx\, dy\)

取點 \(\rightarrow\) 劃線 \(\rightarrow\) 投影 \(\rightarrow\) 積分

（2）性質

\[\int_ {} \int_D 1\, d\sigma = S_D \]

（3）比較定理

積分線相同，函式不同

若在 D 上\(f(x, y) \leq g(x, y)\) 則有

\[\int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma \leq \int_ {} \int_D g(x, y)\, d\sigma \]

（4）中值定理

\(f(x, y)\)在有界閉區域 D 上連續，至少存在一點\((\xi ,\eta) \in D\)，使得

\[\int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma = f(\xi, \eta)\sigma \]

2. 計算

（0）綜合運用

畫出積分割槽域，有對稱性就用技巧法，沒有就用直接法 （二者結合著用）

拆

分塊區域

（1）直角座標算二重積分

1. X 型：先積 x 後積 y

   \[\int_a^b {dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x, y)\, dy \]

2. Y 型：先積 y 後積 x

   \[\int_a^b {dy}\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)}f(x, y)\, dx \]

（2）極座標算二重積分

1. 適用：積分割槽域是圓 或 被積分函式是：

   \[f(x^2+y^2),f(\frac{ax^n+by^n}{cx^n+dy^n})（同比次方式） \]

2. 公式：

   \[\int_{\alpha}^{\beta} {} \,{\rm d}\theta \int_{0}^{r(\theta)} {f(rcos\theta,rsin\theta)}r\,{\rm d}r \]
   1. 找 \(\theta\) ： 範圍\([\alpha, \beta]\)
   2. 取 \(\theta\) ： 做射線，找邊界方程 \(r(\theta)\)
   3. 助記 ：\(ds = dx\, dy = r \, dr \, d\theta\)

（3）技巧法

適用抽象函式

a. 積分割槽域下的奇偶性

1. 積分割槽域 D 關於 x 軸對稱 \(\rightarrow\) 看 y 函式（ y 奇為0， y 偶為2倍）
2. 積分割槽域 D 關於 y 軸對稱 \(\rightarrow\) 看 x 函式（ x 奇為0， x 偶為2倍）
3. 拆解，做輔助線

b. 輪換對稱性

區域關於 y = x 對稱

x y 互換，然後二者加起來