線性代數

1. 行列式

規範：行 r ，列 c

簡化計算：把主對角線下方全變成0

性質

1. 怎麼變：某行(列)加 / 減另一行(列)的幾倍，行列式不變
2. 某行(列)乘 k ，等於 k 乘此行列式
3. 互換兩行(列)，行列式變號

計算及應用

1. \( \begin{vmatrix} x & a & ... & a\\ a & x & ... & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & ... & x \end{vmatrix} = (x - a)^{n - 1}[x + (n - 1)a] \)

​ 對角線上是一個數，其餘全一樣

2. \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ x_1 & x_2 & ... & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & ... & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & ... & x_n^{n - 1} \end{vmatrix} = (x_n - x_{n - 1})(x_n - x_{n - 2})(x_n - x_{n - 3})......(x_n - x_1)(x_{n - 1} - x_{n - 2})(x_{n - 1} - x_{n - 3})......(x_{n - 1} - x_1)......(x_2 - x_1) \]
3. 1. 兩行 (列) 相同或成比例時， 行列式為0；
   2. 某行 (列) 為兩項相加減時，行列式可拆成兩個行列式相加減

4. 求餘子式\(M_{ij}\)（消去 i 行 j 列之後的結果）、代數餘子式 \(A_{ij} = (-1)^{i + j}·M_{ij}\)

5. 某一行或某一列只有一個非零

\[D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ...... + a_{in}A_{in} (第 i 行)\\D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ...... + a_{nj}A_{nj} (第 j 列)\ \]

6. 多個 A 或 M 相加減：用 A 前面的係數來替換下標所指的數
   ，如果是 M 的話就先把它轉換成 A（變符號）
7. 判斷方程組解的情況

\[\begin{array}{c|lcr} 方程組 & D \neq 0 & D = 0 \\ \hline 齊次 & 只有一組零解 & 有零解與非零解 \\ 非齊次 & 只有一組非零解 & 有多個解或無解 \\ \end{array} \]

（齊次：右邊全0 ； 非齊次：右端有常數項存在）

2. 矩陣

1. 矩陣相乘

前行乘後列（第 i 行第 j 列的值是第 i 行乘第 j 列的值）

特殊矩陣

1. 0 矩陣 （全0）乘任何矩陣相乘都為 0 ：A · 0 = 0
2. 對角線為 1 ，其他都為 0 的矩陣 E 等價為 1： A · E = A
3. 矩陣相乘順序不能顛倒：\(AB \neq BA\)
4. \(AX = AY\)不能推出\(X = Y\)
5. \((AB)^k\) 不一定等於 \(A^kB^k\)
6. \(A^2 + (k + j)AB + kjB^2\) 不一定等於 \((A + kB)(A + jB)\)

​ 但裡面有一個是 E 時，可以轉化：

​ \(A^2 + 2A + E = A^2 + 2AE + E^2 = (A + E)^2\)

2. 矩陣取行列式

換成行列式，行列式的值就是所求

性質：\(|λA| = λ^n|A|\)

3. 矩陣轉置

把第 i 行變成第 i 列

1. 列乘行乘列：先用行乘列
2. \((AB)^T = B^TA^T\)
3. \(|A^T| = |A|\)

4. 證明矩陣可逆

1. 矩陣 A 為方陣
2. \(|A| \neq 0\) 或者 \(\exists B\) ，滿足\(AB = E 或 BA = E\)

​ (兩個都要滿足)

5. 求逆矩陣

​ \((A \vdots E)\) 經過下列3個操作後變成\((E \vdots A^{-1})\)

1. 換行
2. 某行乘上一個數字
3. 一行加上或減去另一方乘數字

​ (也就是把 A 變成 1 矩陣，右邊 E 所進行相應變換的結果就是所求)

6. 利用 A· A^-1 = E 或 A^-1· A = E計算

7. 利用 A· A^* = |A|E 或 A^*· A = |A|E計算

直接代公式，把 \(A^*\) 消掉

8. 求矩陣的秩

進行行變換，使得下行左端 0 比上行多，直到下面行全為 0 為止（化為“嚴格階梯型“）

化完之後，非 0 行有多少個，秩就是多少

9. 已知秩，求矩陣裡的未知數

先做變換，把除未知數外的儘可能化為 0

矩陣初識

方陣

下標只有一個的時候表示方陣（行數等於列數）
方陣才有主對角線
（小心i == j處的邊界判斷）

1. 上三角形矩陣：下為0
2. 下三角形矩陣：上為0
3. 對角矩陣：上下都為0
   表示方法：

\[diag(a_{11}, a_{22}, ... , a_{nn}) \]

4. 數量/純量矩陣：主對角線上的元素都相同
5. 單位矩陣：主對角線上的元素都為1，用I，E來表示

線性方程

給出線性方程組可得，
先處理線性方程組：同種下標對其，沒有的補0，常數項都在右邊
係數矩陣：A
增廣矩陣：B （帶右邊的常數項）
齊次方程組：常數項全為0

矩陣的初等行變換

高斯消元

解方程
高斯消元：線代行列變換——>係數矩陣（正）

初等行列變換：

1. 把某一行乘一個非零的數
2. 交換某兩行
3. 把某行的若干倍加到另一行去
   經上述操作，最終解不變，方程組變為上三角形式。

解的可能性：（看三角形）

1. 無解：零 = 非零
2. 無窮解：零 = 零
3. 唯一解：完美階梯形

高斯消元法：
列舉每一列c（從第一列開始挨個往後看）“大頂10”

1. 找絕對值最大的一行

2. 將該行換到最上面

3. 將該行第一個數變成1（同時除一個非零常數）

4. 將下面所有行的第c列消成0（同時加減）

5. 把處理完的那些列固定，重複執行1~5的操作

6. 記得倒著把方程消一遍

簡圖：

實現過程中要小心的易錯點：

1. eps 輔助浮點數判斷，精度問題
2. 記得 “ 倒消 ” ；
3. 排除-0.00的狀況
4. 個人犯的sb錯誤：賦值寫成相等orz

行階階梯形矩陣

非0行的非0首元下面和之前的元素都是0
如果有-行，0行排在最後面

行階最簡型矩陣

非0行的非0首元都是1，上下都是0

討論解的可能性

矩陣乘法

法則

滿足以下條件之一就可以交換：

1. 單位矩陣乘
2. 兩個對角矩陣相乘

矩陣轉置

性質：

\[(AB)^T = B^T * A^T \]

3. 向量

4. 方程組

5. 特徵值

6. 二次型