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今天是LeetCode專題53篇文章，我們一起來看看LeetCode中的85題，Maximal Rectangle（最大面積矩形）。

今天的這道題目和上一篇文章講的Largest Rectangle in Histogram這題有一定的相似，所以如果沒有看過上一篇文章的同學，建議先移步觀看一下上一篇。

LeetCode 84 | 單調棧解決最大矩形問題

85題的官方難度是Hard，點贊2757，反對69，通過率37.2%左右。它的情況和84題非常相似，點贊比很高，然後通過率也差不多。雖然它是84題的變形題，但是整體的題目質量還是很高的，沒有因為這一點被詬病。那麼和84題相比，究竟它的變動在哪裡呢，讓我們一起來看題目吧。

題意

給定一個只包含0和1的數字矩陣，要求在這個矩陣當中找到一個由1組成的最大面積的矩形，返回這個面積。

我們來看個樣例：

Input:
[
  ["1","0","1","0","0"],
  ["1","0","1","1","1"],
  ["1","1","1","1","1"],
  ["1","0","0","1","0"]
]
Output: 6

答案是6，是這一塊1圍成的矩形：

題解

還是老規矩，我們從最簡單的方法入手，一點點推匯出最佳的思路。

暴力

首先最簡單的當然是暴力，這題讓我們尋找一個矩形，直接尋找矩形是有點麻煩的。計算機程式不像人眼，可以直接獲取到圖形相關的資訊，計算機不行，只能獲得單個位置的資訊。所以我們讓程式直接判斷矩形是不現實的，但我們可以通過特徵點來鎖定矩形，這個也是業內常用的套路。

鎖定一個矩形的方法一般有兩種，第一種是用矩形的中心點和長寬來確定。這一種在各種影象識別和目標檢測演算法當中經常用到，模型預測的結果就是影象中心點的座標以及長寬的長度。

第二種方法可以通過矩形的對角線上的兩個點來確定，這種方法只適用於和座標軸平行的矩形。比如下圖當中，無論我們知道了(x2, y2), (x3, y3)還是(x1, y1), (x4, y4)，我們都可以將這個矩形確定下來。

有了確定矩形的方法之後，我們通過暴力法來求解就簡單了。我們通過這些值來列舉所有可能構成的矩形，然後依次遍歷矩形中的每一個元素，來判斷它們是否全是1，如果是否的話，那麼就排除，否則則用來更新答案。

這種方法固然可行，但是估算一下，差不多應該是的規模，顯然是我們不能接受的。

分析問題

在暴力解法當中我們遇到了時間複雜度的困難，我們想要優化就必須要解決複雜度的問題，複雜度的問題怎麼解決呢？幹想肯定是不行的，我們需要轉變一下思路，尋找一下突破口。

我們列舉的複雜度規模這麼高是因為我們遍歷了所有矩形，遍歷矩形本身就是一個時間複雜度開銷非常大的舉動。如果不想遍歷矩形，還有什麼方法可以得出最大面積呢？如果我們聯想一下上一題很容易得出答案。

在上一題84題當中，題目給出的是一個個豎直型別的矩形，要求這些矩形組合當中能夠找到的最大面積。

在這題當中我們可以對01的數字矩陣也做這麼一個類似的變形，將從底部開始連續延伸的1的數量看成是豎直襬放的矩形的高度，這樣我們這題就可以使用上一題的思路進行求解了。

  ["1","0","1","0","0"],
  ["1","0","1","1","1"],
  ["1","1","1","1","1"],
  ["1","0","0","1","0"]

比如說上面這個矩陣就可以轉變為[4, 0, 0, 3, 0]，其實就是我們一列一列看，從最低處往上連續的1的數量。但是這樣找到的面積最大值是4，並不是答案的6，原因是因為我們尋找的底層不對，並不一定以最後一行作為底面得到的面積最大。所以我們需要遍歷作為底層的行，然後用這種方法尋找最大面積，全域性當中找到的最大面積就是答案。

在上一題我們計算矩形面積的時候用到了兩個單調棧，分別計算了某一個高度向左、向右能夠延伸到的最遠距離，其實這並沒有必要。因為我們用一個棧也可以同時計算出兩邊的邊界。舉個例子：[1, 3, 6, 7]，當前元素是5。我們需要把6，7出棧，5入棧。我們知道了5的左邊界是3，但仔細想一想，對於7來說，我們知道了它的左右邊界。7的左邊界是6，右邊界是5。也就是說對於棧頂的元素而言，它的左邊界是stack[top-1]，右邊界是當前的位置i，寬就是i - stack[top-1] - 1。

class Solution:
    def maximalRectangle(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        # 求出行數n和列數m
        n = len(matrix)
        if n == 0:
            return 0

        m = len(matrix[0])
  # 儲存每一層的高度
        height = [0 for _ in range(m+1)]
        res = 0
        # 遍歷以哪一層作為底層
        for i in range(n):
            sk = [-1]
            for j in range(m+1):
                # 計算j位置的高度，如果遇到0則置為0，否則遞增
                h = 0 if j == m or matrix[i][j] == '0' else height[j] + 1
                height[j] = h
                # 單調棧維護長度
                while len(sk) > 1 and h < height[sk[-1]]:
                    res = max(res, (j-sk[-2]-1) * height[sk[-1]])
                    sk.pop()
                sk.append(j)
        return res

總結

乍一看這道題好像非常複雜，但是當我們對它進行分析和變形之後，它又變回了普通的單調棧的應用題。在單調棧的使用當中，有兩個細節，一個細節是棧在初始化的時候插入了-1，插入-1是作為一個標兵，也就是所有情況能夠達到的最左側的邊界。另一個細節是維護結束的時候插入了0，插入0的目的是為了彈出棧內所有的元素，因為只有出棧的元素會計算構成的面積，這樣可以保證不會遺漏情況。

除了上面提到的之外，還有其他的一些細節，比如陣列的建立的長度，還有矩形面積的計算公式等等。很多時候演算法之所以難以實現，也正是因為需要考慮的細節很多，整體的邏輯不是非常清楚，需要我們進行大量的思考。總體來說，這是一道非常優秀的問題，值得大家仔細鑽研。

今天的文章到這裡就結束了，如果喜歡本文的話，請來一波素質三連，給我一點支援吧（關注、在看、點贊）。

原文連結：https://www.cnblogs.com/techflow/p/13359851.html