Ch 01 - 訊號與系統

基本運算

• 加減運算（疊加）：\(f_1(t)+f_2(t)\)
• 乘法運算（訊號互乘）：\(f_1(t)f_2(t)\)
• 標量乘法（數乘）：\(af_1(t)\)
• 平移變換：\(x(t \pm t_0)\)（左加右減）
• 對稱反轉：\(x(-t)\)（以\(t=0\)為軸）
• 水平尺度變換（連續訊號）：\(x(at)\)，\(a>1\)縮窄，\(a<1\)展寬
• 水平尺度變換（離散訊號）：縮窄：丟去訊號；展寬：內插訊號

常用特性

• 奇偶性：\(x(t)=x(-t)\)，\(-x(t)=x(-t)\)
• 奇偶分解：\(x_o(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\)
  ，\(x_e(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\)
• 週期性：\(x(t)=x(t+mT),m=0,\pm 1,...\)，最小正週期（基波週期）\(T_0\)

尤拉公式

\(x(t)={\rm e}^{{\rm j}x}=\cos x+{\rm j}\sin x\)

\(\Rightarrow \sin \Omega t=\frac{1}{2{\rm j}}({\rm e}^{{\rm j}\Omega t} - {\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}),\quad \cos\Omega t=\frac{1}{2}({\rm e}^{{\rm j}\Omega t} + {\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}),\)

諧波

一組週期性復指數訊號

• 連續：\(\Phi_k(t)=\{{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0 t}\}\)，\(\Omega_0\) 為基波週期
• 離散：\(\Phi_k(n)=\{{\rm e}^{{\rm j}2\pi nk/N}\}\)，\(N\) 為基波週期

基本訊號

• 單位衝激（Unit Impulse）

  • 連續：\(\delta(t)\)

    \(\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t){\rm d}t=1\)，\(\delta(t)=0~(t\neq 0)\)（狄拉克函式）

    \(\delta(t)=\delta(-t)\)

    \(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\)

    \(\delta(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}u(t)\)（微分特性）

    衝擊偶積分 \(\int_{-\infin}^{+\infin}t\delta'(t){\rm d}t=-1\)

  • 離散：\(\delta(n)=1~(n=0), 0~(n\ne0)\)

    \(x(n)\delta(n)=x(0)\delta(n)\)（取樣特性）

    \(x(n)\delta(n-m)=x(m)\delta(n-m)\)（取樣特性）

    \(\delta(n)=u(n)-u(n-1)\)

    \(\sum_{k=0}^{\infin}\delta(n-k)=u(n)\)

• 單位階躍

  • 連續：\(u(t)=1~(t>0),0~(t<0)\)

    \(x(t)u(t)=x(t)~(t>0),0~(t<0)\)（單邊化）

    \(u(t)-u(t-\tau)\)（脈衝分解）

  • 離散：\(u(n)=1~(n\ge 0),0~(t<0)\)

系統的基本單元

• 放大器：\(y(t)=ax(t)\)
• 積分器：\(y(t)=\int_{-\infin}^tx(\tau){\rm d}\tau\)
• 延遲器：\(y(t)=x(t-T)\)
• 加法器
• 乘法器
• 移序器：\(y(n)=x(n-1)\)

系統的性質

• 可逆性：\(H \leftrightarrow H^{-1}\)
• 因果性：某時刻的輸出只取決於當前和以前的輸入，而不取決於將來的輸入
• 時不變：\(x(t-t_0) \leftrightarrow y(t-t_0)\)
• 線性：\(ax_1+bx_2 \leftrightarrow ay_1+by_2\)
• 穩定性：\(|y(n)|\) 有界