Ch 04 - 調製與抽樣

訊號失真

不失真條件

• 系統對所有子訊號的幅度放大或衰減的倍數相同
• 系統對所有子訊號延時相同

相當於滿足

\[y(t)=Kx(t-t_0) \\ \Rightarrow Y(\Omega)=KX(\Omega){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \\ \Rightarrow H(\Omega)=K{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \]

即幅頻 \(|H(\Omega)|=K\)，相頻 \(\phi(\Omega)=-\Omega t_0\)（線性相位）。

理想低通濾波器

通帶內（低頻段）訊號不失真，阻帶內訊號輸出為 0。

\[H({\rm j}\Omega)= \begin{cases} K{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0},~|\Omega|<\omega_c \\0,~{\rm otherwise} \end{cases} \]

\(\omega_c\)

稱為截止頻率，\(t_0\) 是系統群時延。

幅度調製

角頻率與頻率

• 角頻率 \(\Omega={2\pi}/{T}\)，單位如 \({\rm rad} \times {\rm s}^{-1}\)
• 頻率 \(f=1/T=\Omega/(2\pi)\)，單位如 \({\rm s}^{-1}={\rm Hz}\)

當我們談論角頻率時，需要在前面的傅立葉變換對錶中與頻率相關的位置除去 \(2\pi\)。為了方便，下文會混著使用兩種頻率不加特別區分，因此有 \(2\pi\) 的差異時不是錯誤。

奇偶諧波

• 偶諧訊號 \(x(t)=x(t-T/2)\)

  傅立葉級數只包含偶次諧波分量。

• 奇諧訊號 \(x(t)=-x(t-T/2)\)

  傅立葉級數只包含奇次諧波分量。

雙邊帶正弦幅度調製

使用正弦波作為載波，得到調製後訊號

\[x_c(t)=x(t)\cos\Omega_0t \]

載波的傅立葉變換可由雙邊帶頻譜表示

\[H({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)] \]

則

\[Y({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}[X({\rm j}(\Omega-\Omega_0))+X({\rm j}(\Omega+\Omega_0))] \]

這意味著經調製後原訊號的頻譜被搬移到 \(\pm\Omega_0\)

處，即完成了向高頻的調製。

只有頻譜搬移的過程中不發生頻譜重疊（混疊），才可以從 \(x_c\) 中恢復出 \(x\)，這要求滿足兩點：

• \(x(t)\) 的頻率帶限於 \(\Omega_m\) 的，即

\[X({\rm j}\Omega)\neq0,~|\Omega|<\Omega_m, {\rm otherwise}~ = 0 \]

• \(\Omega_0>\Omega_m\)

考慮解調過程，該載波支援同步解調，則

\[g(t)=(x(t)\cos\Omega_0t)\cos\Omega_0t \\=\frac{1}{2}[x(t)+x(t)\cos2\Omega_0t] \]

那麼

\[G({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}X({\rm j}\Omega)+\frac{1}{4}[X({\rm j}(\Omega-2\Omega_0)+X({\rm j}(\Omega+2\Omega_0)] \]

為了還原 \(X({\rm j}\Omega)\)，可使用 \(K=2\)、\(\Omega_m<\omega_c<2\Omega_0-\Omega_m\) 的理想低通濾波器實現。

帶載波正弦幅度調製

\[y(t)=[A+x(t)]\cos\Omega_0t,~A\ge\max|x(t)| \]

此時保證有 \(A+x(t)\ge0\)，即包絡不重疊，波形的包絡線將會保留 \(x(t)\) 的形狀。

取樣

注意到衝激串的傅立葉變換

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{1}{T}) \]

那麼以週期 \(T\) 的衝激串對連續訊號 \(x(t)\) 的取樣滿足

\[X_p({\rm j}\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X({\rm j}(\Omega-k\Omega_s)) \]

這相當於將 \(x(t)\) 的頻譜以取樣頻率 \(\Omega_s\) 為週期作週期延拓（並有 \(1/T\) 幅度變化）。

那麼取樣後訊號在頻域可分離的條件為：

• \(x(t)\) 頻域帶限 \(\Omega_m\)
• \(\Omega_s>2\Omega_m\) （畫個圖就明白了）

上面第二個條件即為著名的 奈奎斯特-夏農取樣定理，指出了最低抽樣頻率為 \(2\Omega_m\) 才能恢復出原訊號。