Lecture 1

什麼是小波 wavelet

\(\psi (t) \in L^{2}(R)\) 模值平方小於無窮大（能量有限）\(\int_{R}\psi(t)dt = 0\)
實際應用中，要求在時域和頻域，\(\psi(t) \ \hat{\psi}(w)\)快速衰減

原始動機

訊號處理領域，一個永恆的主題，就是要尋求訊號的簡潔的具有物理可解釋的表示方法。這樣就可以在變換域中，挖掘訊號的各種資訊。本質是，小波變換也是一種表示形式。用簡單的小波基，通過伸縮平移變換，構成\(L^{2}\)空間的標準正交基。訊號在標準正交基下，具有稀疏性的表達（很少的基本元素，將訊號表示出來）。從複雜訊號，挖掘特徵資訊。

1. 正交小波基的構造。
   • 1910，Harr小波正交基。（簡潔，具有物理意義）
     \(\psi(t)=\left\{\begin{matrix} 1, & 0\leq t<\frac{1}{2}\\ -1,& \frac{1}{2}\leq t< 1 \\ 0 &0 \end{matrix}\right.\)
     伸縮與平移
     \(\psi_{j,n}(t)=2^{-\frac{j}{2}} \psi(2^{-j}t-n), j,n\in Z\)構成了\(L^{2}(R)\)標準正交基
   • 光滑正交小波基，Meyer，Mallet：建立多分辨分析，正交小波基構建方法
2. 連續小波變換
   訊號變換有兩種基本思路，一種是在正交基下，提供訊號表示；第二種，通過把訊號做變換，通過核函式的積分變化，把訊號變換到核函式的域中去。1984，Morlet，\(\forall f(t)\in L^{2}(R)\)
   ,
   \(W_{f(u,s)}= \int_{R} f(t)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi(\frac{t-u}{s})\)
   \(f(t)\rightarrow W_{f(u,s)}\)
3. 小波為什麼有用
   • 稀疏表示：正交基-壓縮，去噪，特徵提取等。
   • 檢測小尺度訊號：連續小波變換。引力波（檢測放大小訊號），奇異性（故障診斷）等。

Lecture 2

訊號的表示

當今人們生活在一個資訊時代，而資訊的物理載體就是訊號。在我們身邊及我們身上，訊號是無處不在的，我們通過訊號獲取資訊，訊號在我們的生活中扮演著及其重要的作用。例如，人們隨時可以聽到的語音訊號和機械訊號，隨時可以看到的影象訊號，以及生命體存在的心電、腦電、脈搏、心壓、呼吸等眾多生理訊號。為了對訊號進行分析和處理，我們必須建立訊號各種不同的表示。訊號處理技術已經成為我們分析和理解物理世界的重要工具。

1. 訊號的時域表示
   一維表示：\(f(t)\)；通過對連續取樣，離散形式\(f[n]\)
   二維函式：\(f(x,y)\)二維函式取樣，變成矩陣\(\left ( f(i,j) \right )_{m\times n}\)