Chapter 7 Wavelet Bases

小波理論的核心問題：構造小波函式\(\psi(t)\)，使其經過二進位制伸縮和平移後，所產生的的小波函式簇
\(\left \{ \psi_{j,n}(t)=2^{-j/2}\psi(2^{-j}t-n) | j,n\in Z \right \}\)
構成\(L^{2}(R)\)空間中的標準正交基。這時，對任意\(f(t)\in L^{2}(R)\)可表示為
\(f(t)=\sum_{j\in Z}\sum_{n\in Z}\left \langle f,\psi_{j,n} \right \rangle \psi_{j,n}(t)\)
並稱\(\psi(t)\)

正交小波的構造

Mallat 建立多分辨分析的目的是構造正交小波\(\psi(t)\)。下面，將從尺度函式\(\phi(t)\)和尺度濾波器\(h[n]\)出發，給出正交小波函式\(\psi(t)\)和小波濾波器\(g[n]\)的構造。

1. 小波函式的雙尺度方程
   設\(\psi(t)\in W_{0}\)是正交小波函式。由於\(\psi(t)\in V_{-1}=V_{0}\oplus W_{0}\)
   .故\(\phi(t)\)可以有\(V_{-1}\)中的標準正交基\(\left \{ \phi_{-1,n}(t)=\sqrt{2}\phi(2t-n)|n\in Z \right \}\)表示，因此，下面小波函式的雙尺度方程成立。

• 時域形式
  \(\psi(t)=\sqrt{2}\sum_{n\in Z}g[n] \phi(2t-n)\)
  其中，\(g[n]=\left \langle \psi(t),\sqrt{2}\phi(2t-n) \right \rangle\)，並稱\(g[n]\)為小波濾波器
• 頻域形式
  \(\hat{\psi}(\omega)\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{g}(\frac{\omega}{2})\hat{\phi}(\frac{\omega}{2})\)
  ，其中\(\hat{g}(\omega)=\sum_{n\in Z}g[n]e^{-jn\omega}\)。

正交小波構造基本要求

1. 基本要求

• 提供訊號的稀疏表示
  正交小波變換的大部分應用是依賴於訊號在正交小波基下的稀疏表示。例如，正交小波變換應用於資料壓縮和去噪等等。訊號在正交小波基下的稀疏表示能力與小波函式\(\psi(t)\)的如下兩個性質相關
  \(\psi(t)\)的消失矩的大小
  \(\psi(t)\)的支撐大小
• \(\psi(t)\)的正則性
  當正交小波變換用於影象壓縮是，人們需要對小波洗漱進行閾值處理和量化，從而導致重構影象的重構誤差。因為光滑的小波函式通常導致光滑的誤差，所以重構影象具有更好的視覺質量。

2. 消失矩

• 定義 設\(p \geq 1\)為整數，如果對任意\(0\leq k < p\),有
  \(\int_{-\infty}^{+\infty}t^{k}\psi(t)dt=0,\text{with} \ \int_{-\infty}^{+\infty}t^{p}\psi(t)dt \neq 0\)
  稱\(\psi(t)\)具有\(p\)階消失矩。
  顯然，\(\psi(t)\)具有\(p\)階消失矩等價於\(\psi(t)\)與所有低於\(p\)階的多項式正交。

Daubechies 緊支撐正交小波簇

Chapter 5 框架

Hilbert 空間\(\{ \phi_{n} \}_ {n\in P}\)
兩個基本問題： 1 數值穩定重構源資料；2 寫出簡單的重構公式