Tarjan演算法
tarjan演算法
一個關於有向圖的聯通性的神奇演算法。
基於DFS（迪法師）演算法，深度優先搜尋一張有向圖。
名詞的儲備，有備無患
強連通(strongly connected)：
在一個有向圖G裡，設兩個點 a、b。發現，由a有一條路可以走到b，由b又有一條路可以走到a，我們就叫這兩個頂點（a，b）強連通。
強連通圖(Strongly Connected Graph)：
如果在一個有向圖G中，每兩個點都強連通，我們就叫這個圖，強連通圖。
強連通分量(strongly connected components)：
在一個有向圖G中，有一個子圖，這個子圖每2個點都滿足強連通，我們就叫這個子圖叫做強連通分量（分量是指把一個向量分解成幾個方向的向量的和，在那些方向上的向量就叫做該向量（未分解前的向量）的分量）
解答樹：
解答樹是一個可以來表達出遞迴列舉的方式的樹（圖），其實也可以說是遞迴圖。反正都是一個作用，一個展示從“什麼都沒有做”開始到“所有結求出來”逐步完成的過程！過程！過程！重要的事情說三遍！
實戰前，剝個栗子吃吃
舉個簡單的栗子：
比如在上方這個圖中：點1與點2互相都有路徑到達對方，所以它們強連通.
而在這個有向圖中，點1 2 3組成的這個子圖，是整個有向圖中的強連通分量。
tarjan演算法精髓
tarjan演算法，之所以用DFS就是因為它將每一個強連通分量作為搜尋樹上的一個子樹。而這個圖，就是一個完整的搜尋樹。為了使這顆搜尋樹在遇到強連通分量的節點的時候能順利進行，每個點都有兩個引數。 1.DFN[]作為這個點搜尋的次序編號（時間戳），簡單來說就是第幾個被搜尋到的(每個點的時間戳都不一樣)。 2.LOW[]作為每個點在這顆樹中的最小的子樹的根，每次保證最小，like它的父親結點的時間戳這種感覺。如果它自己的LOW[]最小，那這個點就應該從新分配，變成這個強連通分量子樹的根節點。(ps：每次找到一個新點，這個點LOW[] ＝DFN[])
而為了儲存整個強連通分量，這裡挑選的容器是:堆疊。每次一個新節點出現，就進棧，如果這個點有出度就繼續往下找，直到找到底。每次返回上來都看一看子節點與這個節點的LOW值，誰小就取誰，保證最小的子樹根。如果找到DFN[]==LOW[]就說明這個節點是這個強連通分量的根節點（畢竟這個LOW[]值是這個強連通分量裡最小的）。最後找到強連通分量的節點後，就將這個棧裡，比此節點後進來的節點全部出棧，它們就組成一個全新的強連通分量。
來一段虛擬碼壓壓驚
tarjan(u){ DFN[u]=Low[u]=++Index //為節點u設定次序編號和Low初值 Stack.push(u) //將節點u壓入棧中 for each (u, v) in E //列舉每一條邊 if (v is not visted) //如果節點v未被訪問過 tarjan(v) //繼續向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) //如果節點u還在棧內 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) //如果節點u是強連通分量的根 repeat v = S.pop //將v退棧，為該強連通分量中一個頂點 print v until (u== v) }
再來一張有向圖嚐嚐鮮
通過這個有向圖，我們就一點一點來模擬整個演算法：
從1進入 DFN[1]＝LOW[1]＝++index －－－－1 入棧 1 由1進入2 DFN[2]＝LOW[2]＝++index －－－－2 入棧 1 2 之後由2進入3 DFN[3]＝LOW[3]＝++index －－－－3 入棧 1 2 3 之後由3進入 6 DFN[6]＝LOW[6]＝++index －－－－4 入棧 1 2 3 6
之後你會突然發現：嗯？？？6無出度，之後判斷 DFN[6]==LOW[6]，說明6是個強連通分量的根節點：6及6以後的點出棧。則棧： 1 2 3 之後退回節點3，Low[3]=min(Low[3], Low[6]) LOW[3]還是 3，節點3：也沒有再能延伸的邊了，判斷 DFN[3]==LOW[3]，說明3是個強連通分量的根節點：3及3以後的點出棧。則棧： 1 2 之後退回：節點2 嗯？！往下到節點5 DFN[5]＝LOW[5]＝++index －－－－－5 入棧 1 2 5
ps：你會發現在有向圖旁邊的那個醜的（劃掉）搜尋樹用紅線剪掉的子樹，那個就是強連通分量子樹。每次找到一個。直接：一剪子下去。半個子樹就沒有了。。。
結點5 往下找，發現節點6 DFN[6]有值，被訪問過。就不管它。 繼續5 往下找，找到了節點1 ，然而尷尬的是：DFN［1］被訪問過並且還在棧中，說明1還在這個強連通分量中，值得發現。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1]) 確定關係，在這棵強連通分量樹中，5節點要比1節點出現的晚。所以5是1的子節點。因此LOW[5]＝ 1
由5繼續回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5]) LOW[2]＝1； 由2繼續回到1 判斷 Low[1] = min(Low[1], Low[2]) LOW[1]還是 1 1還有邊沒有走過。發現節點4，訪問節點4 DFN[4]＝LOW[4]＝++index －－－－6 入棧 1 2 5 4 由節點4，走到5，發現5被訪問過了，5還在棧裡， Low[4]= min(Low[4], DFN[5]) LOW[4]＝5 說明4是5的一個子節點。
由4回到1.
回到1，判斷 Low[1] = min(Low[1], Low[4]) LOW[1]還是 1 。
判斷 LOW[1] == DFN[1] 誒？！相等了 說明以1為根節點的強連通分量已經找完了。 將棧中1以及1之後進棧的所有點，都出棧。 棧 ：（鬼都沒有了）
這個時候就完了嗎？！
你以為就完了嗎？！
然而並沒有完，萬一你只走了一遍tarjan整個圖沒有找完怎麼辦呢？！
所以。tarjan的呼叫最好在迴圈裡解決。
like 如果這個點沒有被訪問過，那麼就從這個點開始tarjan一遍。
因為這樣好讓每個點都被訪問到。
終極大BOSS測試
輸入：
一個圖有向圖。
輸出：
它每個強連通分量。
這個圖就是剛才講的那個圖。一模一樣。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
參考程式碼：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
struct node { int v,next;}edge[1001];
int DFN[1001],LOW[1001];
int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
void add(int x,int y)
{ edge[++cnt].next=heads[x];
edge[cnt].v = y heads[x]=cnt; return ; }
void tarjan(int x)//代表第幾個點在處理。遞迴的是點。
{ DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新進點的初始化。
stack[++index]=x;//進站
visit[x]=1;//表示在棧裡
for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{ if(!DFN[edge[i].v]) {//如果沒訪問過
tarjan(edge[i].v);//往下進行延伸，開始遞迴
LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);
//遞迴出來，比較誰是誰的兒子／父親，就是樹的對應關係，涉及到強連通分量子樹最小根的事情。
}
else if(visit[edge[i].v ]){ //如果訪問過，並且還在棧裡。
LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);
//比較誰是誰的兒子／父親。就是連結對應關係
}
}
if(LOW[x]==DFN[x]) //發現是整個強連通分量子樹裡的最小根。
{
do{
printf("%d ",stack[index]);
visit[stack[index]]=0;
index--;
}while(x!=stack[index+1]);//出棧，並且輸出
printf("n");
}
return ;
}
int main()
{ memset(heads,-1,sizeof(heads));
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int x,y;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!DFN[i]) tarjan(i);
//當這個點沒有訪問過，就從此點開始。防止圖沒走完
return 0;
}不知道你是否真的理解了Tarjan演算法，
若還有疑問，歡迎在留言板處提問哦！
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