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tarjan 演算法與圖的連通性

阿新 • • 發佈：2020-07-24

前言與預備知識

發現我根本不會 tarjan，又發現《演算法競賽進階指南》上正好有相關講解，於是回來補 tarjan 這個 NOIP 演算法。 （順便頹一會兒水題）

首先我們要知道 搜尋樹 的相關內容（注意區分搜尋樹和原圖）：

定義 \(dfn[cur]\) 為 \(cur\) 節點的時間戳。

\(low[cur]\) 為 \(cur\) 節點的追溯值。

其中 \(low[cur]\) = \(min\){搜尋樹中 \(cur\) 的子樹的節點的時間戳， 子樹中通過一條邊，能夠到達的節點的時間戳}

警告：分清 \(dfn\) 和 \(low\)！

無向圖相關問題

橋 與 邊雙連通分量

橋

無向圖中，如果割掉一條邊，可以使整個無向圖成為兩個連通塊，那麼這條邊成為割邊

或 橋。

判定法則：

\[low[to] > dfn[cur] \]

顯然，橋一定是搜尋樹上的邊， 簡單環中的邊一定不是橋（P2607 [ZJOI2008]騎士 中找環的方法之一）。

注意：不要用 \(cur\) 的 \(low/dfn\) 來更新 \(fa\) 的 \(low\)。但是可能會遇到重邊等問題，所以記錄入邊編號 \(ine\)，防止遍歷 \(ine\)！

求法：

//(initial)ecnt = 1
void tarjan(int cur, int ine) {
	dfn[cur] = low[cur] = ++dtot;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (!dfn[to]) {
			tarjan(to, i);
			low[cur] = min(low[cur], low[to]);
			if (low[to] > dfn[cur]) 
				iscut[i] = iscur[i ^ 1] = true;
		} else if (i != ine ^ 1)
			low[cur] = min(low[cur], dfn[to]);
	}
}

邊雙連通分量（e-DCC)

不存在割邊的無向連通圖為 邊雙連通圖。極大邊雙連通子圖為 邊雙連通分量。

一張無向連通圖是邊雙連通圖，當且僅當對於圖中每條邊，都在至少一個簡單環上。

  • 求法：

將橋刪去後，整個圖就成了一個個邊雙連通分量。

可以對圖進行縮點。點內無橋，點間為橋。這樣的話，縮點後沒有任何環，是無向圖森林。

void tarjan(int cur, int ine);
bool vis[N];
int siz[N];
int col[N], ctot;
void Dfs(int cur) {
	vis[cur] = true;
	col[cur] = ctot;
	siz[ctot]++;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (vis[to] || iscut[i])	continue;
		Dfs(to);
	}
}
vector<int> eg[N];
inline void adeg(int u, int v) {
	eg[u].push_back(v); eg[v].push_back(u);
}

//in main()
for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (!dfn[i])	tarjan(i, 0);
}
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (!vis[i])	ctot++, Dfs(i);
}
for (register int i = 2; i <= ecnt; i += 2) {
	if (iscut[i]) {
		adeg(col[e[i].to], col[e[i ^ 1].to]);
	}
}
  • 典型應用：無向圖的必經邊

必經邊 = 割掉後點對不連通 = 點對間的割邊（橋）

邊雙縮點+樹剖，查詢點對距離即可。

題意：

n 個點，m 條邊， q 次詢問，每次問 \(i\) 號邊刪去後會有多少點對互不可達。

n <= 1e5, m <= 1e6, q <= 8e5

發現不刪也會有一堆點對互不可達（原本不一定聯通）。如果刪去的是割邊，那麼會增加其兩端連通塊的大小之積這麼多的點對。

因此首先並查集搞出“初始答案”。然後 \(tarjan\) 求割邊。然後將割邊刪去，進行縮點。此時縮好以後的圖是一棵森林。因此我們可以對每棵樹類似鏈剖的第一個dfs一樣地搞出 \(dep\) 和 \(siz\)。沒了。

注意區分“節點”與“節點”之間的關係。即區分：

森林--樹（連通塊）--樹上的點（邊雙連通分量）--原圖的點

割點 與 點雙連通分量

  • 割點

刪去點及其所有連邊後，原無向圖分裂成為多個連通塊，則這一點為 割點。

判定法則：

\[low[to] >= dfn[cur] \]

具體來說，對於（搜尋樹的）非根節點 \(cur\)，如果存在 \(low[to] >= dfn[cur]\)，那麼 \(cur\) 為割點；對於根節點來說，如果有 至少兩個 \(to\) 符合條件，那麼根節點也為割點。

由於是 \(>=\)，因此就算拿 \(fa\) 的 \(dfn\) 來更新點的 \(low\)（顯然不可能用 \(fa\) 的 \(low\) 來更新），也無法使該點跳出包圍圈，不會將其 \(fa\) 誤判為非割點。

求法：

模板提交處

void tarjan(int cur) {
	dfn[cur] = low[cur] = ++dcnt;
	int cnt = 0;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (!dfn[to]) {
			tarjan(to);
			low[cur] = min(low[cur], low[to]);
			if (low[to] >= dfn[cur]) {
				cnt++;
				if (!iscut[cur] && (cur != rt || cnt > 1))
					cut[++cuttot] = cur, iscut[cur] = true;
			}
		} else {
			low[cur] = min(low[cur], dfn[to]);
		}
	}
}

題意 : 給定一張無向聯通圖，求每個點被封鎖（刪去與該點相連的所有邊）之後有多少個有序點對(x,y)(x!=y,1<=x,y<=n)滿足x無法到達y

注意：沒有刪去那個點（不過都是細節了）

如果刪去的不是割點，那麼圖仍然是聯通圖（除了單拎出來一個點），直接特判即可。

如果刪去的是割點，那麼圖將會四分五裂。準確地說，如果對於這個點 \(cur\) 來說有 \(T\) 個 \(to\) 符合 \(low[to] >= dfn[cur]\) 的條件，那麼這張圖最多能分成 \(T + 2\) 個連通塊，包括那麼多 \(to\) 的子樹 + \(cur\)節點 + 除此以外的所有點（這個可能沒有）。

然後跑 \(tarjan\) 的時候記錄一下 \(siz\)（搜尋樹的子樹大小）。同時維護一下所有符合條件的子樹大小之和（方便統計最後一部分對答案的貢獻）。然後直接算每個點的答案就行了。

  • 點雙連通分量（v-DCC）

不存在割點的無向連通圖為 點雙連通圖。極大點雙連通子圖為 點雙連通分量。

一張圖是點雙連通圖，當且僅當圖的頂點數不超過2，或者圖的任意兩個點都在同一個簡單環（圓圈）中。

注意：一個割點可能同時屬於多個 v-DCC！（非割點只屬於一個）

  • 求法

維護一個棧。無論是否是根，在遇到 \(low[to] >= dfn[cur]\) 時彈棧一直彈到 \(to\)，然後彈出的所有點再加上 \(cur\) 即為一個點雙連通分量。

比較麻煩的時縮點。有了一個個 v-DCC 後，就可以進行縮點。但是由於割點可能同時屬於多個 v-DCC，因此我們要將 割點複製一份作為中轉節點。令人欣慰的時，縮點過後原圖將成為一棵樹（或森林）。如下圖：

void tarjan(int cur) {
	stk[++stop] = cur; dfn[cur] = low[cur] = ++dcnt;
	int cnt = 0;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (!dfn[to]) {
			tarjan(to);
			low[cur] = min(low[cur], low[to]);
			if (low[to] >= dfn[cur]) {
				cnt++;
				if (cur != rt || cnt > 1)	iscut[cur] = true;
				int tmp; dcc_tot++;
				do {
					tmp = stk[stop--];
					dcc[dcc_tot].push_back(tmp);
				} while(tmp != to);
				dcc[dcc_tot].push_back(cur);
			}
		} else {
			low[cur] = min(low[cur], dfn[to]);
		}
	}
}

inline void rebuild() {
	int ntot = n;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (iscut[i]) newid[i] = ++ntot;
	}
	for (register int i = 1; i <= dcc_tot; ++i) {
		for (register int j = 0; j < (int)dcc[i].size(); ++j) {
			int cur = dcc[i][j];
			if (iscut[cur]) {
				aded(nwid[cur], i); aded(i, nwid[cur]);
			} else {
				col[cur] = i;
			}
		}
	}
}
  • 典型應用：無向圖必經點

例題：P4320 道路相遇

必經點 = 刪去這個點後點對不連通 = 點雙縮點後的樹上路徑的割點樹

需要完整地建出縮點後的樹。為了防止邊混淆，在建立縮點後的樹之前先將原圖的邊清空。

注意對於路徑端點（即點對）需要特判。

（題解裡面好多說圓方樹的，不知道是不是和tarjan做法有關）

\(Code:\)my record

習題：UVA1464 Traffic Real Time Query System

題意：求無向圖中不屬於任何奇環的節點數量。其中1個點不算環。

首先我們最好把一個個環（不一定是簡單環）都提出來。這個要用點雙連通分量。因為邊雙連通分量不好搞定 \(∞\) 形狀的情況。我們要求每個“塊”內的任意兩點都屬於至少同一個環。（畢竟是點在環上的問題，而不是邊在環上的問題）

可以證明，對於每一個塊（v-DCC)，如果包含有至少一個奇環，那麼塊內的所有點都在至少一個奇環上。（找到奇環後，由於要求任意兩個點都在至少同一個環上，因此奇環外的點一定會與奇環上的點以環的形式連線，出現環套環的現象。因此那一個環有兩種形態，必定是一種奇環一種偶環）。

於是黑白染色即可。由於割點在不同的DCC上，因此每次染色前需要重置“顏色”。

小於等於兩個點的DCC恰好也符合，正好不用特判。

程式碼:my record

提示：對於無向圖邊對的必經點數，為四對點的必經點數的最大值。通過找規律可以得到。嚴謹證明應該也不難，就在縮點後的數上討論各種（兩種）情況即可。

程式碼：my record

  • 習題

P3225 [HNOI2012]礦場搭建

P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G

有向圖相關問題

tarjan 演算法、強連通分量與縮點

有向圖的 tarjan 已經很熟悉了。

注意1：如果 \(to\) 不在棧中，就不要用它更新 \(cur\) 的 \(low\) 了。

注意2：將 \(tmp\) 彈棧時，要 \(vis[tmp] = false\) ！

\(Code:\)

void tarjan(int cur) {
	dfn[cur] = low[cur] = ++dcnt;
	stk[++stop] = cur; vis[cur] = true;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (!dfn[to]) {
			tarjan(to);
			low[cur] = min(low[cur], low[to]);
		} else if (vis[to]) {
			low[cur] = min(low[cur], low[to]);
		}
	}
	if (low[cur] == dfn[cur]) {
		int tmp; ctot++;
		do {
			tmp = stk[stop--];
			col[tmp] = ctot;
			vis[tmp] = false;
		} while (tmp != cur);
	}
}

相關題目：P3387 【模板】縮點，P2812 校園網路【[USACO]Network of Schools加強版】，P2515 [HAOI2010]軟體安裝

有向圖的必經邊與必經點

似乎和支配樹有關？這裡只有DAG的必經邊和必經點。

從 \(S\) 出發沿正向邊（即原圖的邊）拓撲dp求出 \(fs[cur]\) 表示 \(S\) 到 \(cur\) 的方案數；從 \(T\) 出發沿反向邊（即原圖的反向邊）拓撲dp求出 \(ft[cur]\) 表示 \(cur\) 到 \(T\) 的方案數。這樣， \(fs[T]\) 即為總方案數。

如果有一條邊\((u, v)\)，滿足：\(fs[u] * ft[v] == fs[T]\)，即為必經點；

如果有一個點 \(cur\)，滿足：\(fs[cur] * ft[cur] == fs[T]\)，即為必經點。

由於方案數可能很大，需要進行Hash！

注意：

  • 一般圖的連通性的題目要對DCC/SCC為一的情況進行特判。

  • 求點雙和求SCC的寫法不太一樣，求點雙是 do { } while (tmp != to); 一直到把 \(to\) 彈出去為止（最好寫成 do-while 形式，否則容易忘記彈 \(to\)，SCC同理）；而求SCC則是 do { } while (tmp != cur); 要把自己彈出去。

  • 點雙可以用來水過很多圓方樹的題，比如道路相遇，以及戰略遊戲。

附：

tarjan 求割邊及縮點（除錯用）

//(initial)ecnt = 1
void tarjan(int cur, int ine) {
    dfn[cur] = low[cur] = ++dtot;
    for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
        int to = e[i].to;
        if (!dfn[to]) {
            tarjan(to, i);
            low[cur] = min(low[cur], low[to]);
            if (low[to] > dfn[cur]) 
                iscut[i] = iscur[i ^ 1] = true;
        } else if (i != ine ^ 1)
            low[cur] = min(low[cur], dfn[to]);
    }
}
bool vis[N];
int siz[N];
int col[N], ctot;
void Dfs(int cur) {
	vis[cur] = true;
	col[cur] = ctot;
	siz[ctot]++;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (vis[to] || iscut[i])	continue;
		Dfs(to);
	}
}
vector<int> eg[N];
inline void adeg(int u, int v) {
	eg[u].push_back(v); eg[v].push_back(u);
}

//in main()
for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (!dfn[i])	tarjan(i, 0);
}
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (!vis[i])	ctot++, Dfs(i);
}
for (register int i = 2; i <= ecnt; i += 2) {
	if (iscut[i]) {
		adeg(col[e[i].to], col[e[i ^ 1].to]);
	}
}

tarjan 求割點及縮點（除錯用）

void tarjan(int cur) {
    stk[++stop] = cur; dfn[cur] = low[cur] = ++dcnt;
    int cnt = 0;
    for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
        int to = e[i].to;
        if (!dfn[to]) {
            tarjan(to);
            low[cur] = min(low[cur], low[to]);
            if (low[to] >= dfn[cur]) {
                cnt++;
                if (cur != rt || cnt > 1)   iscut[cur] = true;
                int tmp; dcc_tot++;
                do {
                    tmp = stk[stop--];
                    dcc[dcc_tot].push_back(tmp);
                } while(tmp != to);
                dcc[dcc_tot].push_back(cur);
            }
        } else {
            low[cur] = min(low[cur], dfn[to]);
        }
    }
}

inline void rebuild() {
    int ntot = n;
    for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (iscut[i]) newid[i] = ++ntot;
    }
    for (register int i = 1; i <= dcc_tot; ++i) {
        for (register int j = 0; j < (int)dcc[i].size(); ++j) {
            int cur = dcc[i][j];
            if (iscut[cur]) {
                aded(nwid[cur], i); aded(i, nwid[cur]);
            } else {
                col[cur] = i;
            }
        }
    }
}

tarjan 求強連通分量（除錯用）

void tarjan(int cur) {
    dfn[cur] = low[cur] = ++dcnt;
    stk[++stop] = cur; vis[cur] = true;
    for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
        int to = e[i].to;
        if (!dfn[to]) {
            tarjan(to);
            low[cur] = min(low[cur], low[to]);
        } else if (vis[to]) {
            low[cur] = min(low[cur], low[to]);
        }
    }
    if (low[cur] == dfn[cur]) {
        int tmp; ctot++;
        do {
            tmp = stk[stop--];
            col[tmp] = ctot;
            vis[tmp] = false;
        } while (tmp != cur);
    }
}

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參考網址：https://www.cnblogs.com/aoximin/p/13162635.html 前言 簡介圖: 在資料的邏輯結構D=（KR）中，如果K中結點對於關係R的前趨和後繼的個數不加限制，即僅含一種任意的關係，則稱這種資料結構為圖形結構。