動態規劃演算法和分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干子問題，但是經分解得到的子問題的數目只是多項式量級，而且子問題不是互相獨立的。可以避免分治法中子問題被重複計算很多次。

兩個要素：（1）子問題重疊性質（2）最優子結構性質

子問題重疊性質：（遞迴演算法求解時）有些子問題被反覆計算多次。動態規劃法中對每一個子問題只解一次。

最優子結構性質：當一個問題的最優解包含了其子問題的最優解。

全源最短路徑

Floyed演算法：採用自底向上方式計算，dist[i][j]存放從結點i到j的最短路徑的長度，在演算法的第k步上，做出決策：從i到j的最短路徑上是否包含結點k，時間複雜度O(n^3)

最長公共子序列

dp[i][j] 表示第一個序列的前i個字元和第二個序列的前j個字元的最長公共子序列的長度，動態轉移方程為：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1],dp[i-1][j-1] + (A[i]==B[j] ? 1 : 0))，表示在這三種狀態中取到最大值，

#define INF 0x3f3f3f3f
char a[1001], b[1001];
int dp[1001][1001], len1, len2;
void lcs(int i, int j)
{
    for(i=1; i<=len1; i++)
    {
        for(j=1; j<=len2; j++)
        {
            if(a[i-1] == b[j-1])///a[i]和b[j]相等
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1
 
])
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j] = dp[i][j-1];
        }
    }
} 

void llcs()///根據dp求得最長公共子序列
{
    int i, j, z = 0;
    char c[1001];
    memset(c, 0, sizeof(c));
    i = len1, j = len2;
    while(i!=0 && j!=0)
    {
        if(a[i-1] == b[j-1])
        {
            c[z++] = a[--i];
            j--;
        }
        else if(dp[i-1][j] < dp[i][j-1])
            j--;
        else if(dp[i][j-1] <= dp[i-1][j])
            i--;
    }
    for(i=z-1; i>=0; i--)
        printf("%c", c[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    while(scanf(" %s", a)！=EOF)
    {
        scanf(" %s", b);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        len1 = strlen(a);
        len2 = strlen(b);
        lcs(len1, len2);
        llcs();
    }
    return 0;
}

0/1揹包問題

0/1揹包問題可以看作是決策一個序列(x1, x2, …, xn)，對任一變數xi的決策是決定xi=1還是xi=0。在對xi-1決策後，已確定了(x1, …, xi-1)，在決策xi時，問題處於下列兩種狀態之一：

（1）揹包容量不足以裝入物品i，則xi=0，揹包不增加價值；

（2）揹包容量可以裝入物品i，則xi=1，揹包的價值增加了vi。

int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];///dp[m]是揹包容量為m時能裝入的最大價值
int main()
{
    int t,i,j,n,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
       cin>>n>>m;///n是物品數量，m是揹包容量
       for(i=1;i<=n;i++)
         cin>>v[i];///價值
       for(i=1;i<=n;i++)
         cin>>w[i];///體積
       memset(dp,0,sizeof(dp));
       for(i=1;i<=n;i++)
       {
          for(j=m;j>=w[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
        cout<<dp[m]<<endl;
    }
}

完全揹包

有n種物品和一個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大

int dp[50010];
int w[2010],v[2010];///w是物品體積,v是物品價值
int main
{
  int i,j,t,n,m,a,b;
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
  {
     scanf("%d%d",&n,&m);///n是物品數量,m是揹包容量
     for(i=0;i<n;i++)
       scanf("%d"%d",&w[i],&v[i]);
     memset(dp,-inf,sizeof(dp));
     dp[0]=0;
     for(i=0;i<n;i++)
     {
        for(j=w[i];j<=m;j++)
          dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
     }
     if(dp[m]>0) printf("%d\n",dp[m]);
     else printf("No\n");
  }  
  return 0;
}