約束條件下多元函式極值問題
約束條件下多元函式極值問題
引入
一般在高中會學習到基本不等式，而高考中的約束條件下多元函式極值問題也幾乎都是使用基本不等式及其變式來求解，但是基本不等式變形配湊都有些麻煩
而下面會介紹的方法能夠不用動腦，直接暴力解出極值
偏導數
關於導數在我之前的blog中已經有過介紹，不瞭解的可以去看看（傳送門）
在數學中，偏導數（partial derivative）的定義是：一個多元函式，對其中一個變數微分，而保持其他變數恆定
多元函式 \(f\) 關於變數 \(x\) 的偏導數寫作 \(f'_x\) 或 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)，其中 \(\partial\)
感性理解一下，多元函式 \(f\) 關於變數 \(x\) 的偏導數其實就是把 \(f\) 中除了 \(x\) 的其他變數當作常數然後再求導
舉個例子，令\(f(x,y)=2x^2+3y^2+5xy+1\)，則 \(f'_x(x,y)=4x+5\)
拉格朗日乘數法
介紹
要求 \(f(x,y)\) 在 \(\varphi(x,y)=0\) 時的區域性極值時，我們可以引入新變數拉格朗日乘數 \(\lambda\)，這時我們只需要求下列拉格朗日函式的區域性極值：
\[\mathcal{L}(x,y)=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y) \]其中常數 \(\lambda\)
如果函式 \(z=f(x,y)\) 在約束條件 \(\varphi(x,y)=0\) 下的極值點是 \((x_0,y_0)\)，則存在 \(\lambda_0\)
所以我們只需要求出方程組的解就能得到這個問題的可疑極值點
舉例
問題1
已知 \(7x+4y=4\)，且 \(x>0,y>0\)，求 \(\frac7x+\frac1y\) 的最小值
解法1
這個問題均值很方便，簡單配湊就行
\[\begin{aligned} \frac7x+\frac1y&=\frac14(7x+4y)(\frac7x+\frac1y)\\ &=\frac14(\frac{28y}x+\frac{7x}y+11)\\ &=\frac{11}4+\frac{7y}{x}+\frac{7x}{4y}\\ &\ge\frac{11}4+2\sqrt{\frac{7y}{x}\cdot\frac{7x}{4y}}\\ &=\frac{39}4 \end{aligned} \]最小值就是 \(\frac{39}4\)，當 \(\frac{7y}{x}=\frac{7x}{4y}\)，即 \(x=\frac49,y=\frac29\) 時取得
解法2
下面試試用拉格朗日乘數法求解
問題轉換為求 \(f(x,y)=\frac7x+\frac1y\) 在 \(\varphi(x,y)=7x+4y-4=0\) 的約束條件下的最小值
首先求 \(f\) 和 \(\varphi\) 兩個函式分別關於 \(x,y\) 的偏導數
\[\begin{aligned} &f'_x(x,y)=-7x^{-2}\\ &f'_y(x,y)=-y^{-2}\\ &\varphi'_x(x,y)=7\\ &\varphi'_y(x,y)=4 \end{aligned} \]然後利用拉格朗日乘數建立方程組
\[\left\{ \begin{aligned} &-7x^{-2}+7\lambda=0\\ &-y^{-2}+4\lambda=0\\ &7x+4y-4=0 \end{aligned} \right. \]然後解方程就完了
\[\left\{ \begin{aligned} &x=\frac49\\ &y=\frac29\\ &\lambda=\frac{81}{16} \end{aligned} \right. \]即 \(x=\frac49,y=\frac29\) 時 \(f\) 取得最小值
代入 \(x,y\) 得 \(f_{\text{min}}=f(\frac49,\frac29)=\frac{39}4\)
總結
這個問題比較naive，用拉格朗日乘數法會更加麻煩，但是拉格朗日乘數法更加無腦，可以用一樣的方法解決更普遍的問題，這裡舉這個例子只是為了幫助理解一下過程
問題2
若實數 \(x>0\)，\(y>0\) 滿足 \(6x+3y+4xy=8\)，求 \(2x+y\) 的最小值
解法1
還是均值不等式也不難
把約束條件轉換為 \(xy\) 與 \(2x+y\) 的關係式，然後對於 \(2x+y\) 直接均值，取等時就能直接解出了
這裡就不寫了（我懶）
解法2
問題轉換為求 \(f(x,y)=2x+y\) 在 \(\varphi(x,y)=6x+3y+4xy-8=0\) 的約束條件下的最小值
首先求 \(f\) 和 \(\varphi\) 兩個函式分別關於 \(x,y\) 的偏導數
\[\begin{aligned} &f'_x(x,y)=2\\ &f'_y(x,y)=1\\ &\varphi'_x(x,y)=4y+6\\ &\varphi'_y(x,y)=4x+3 \end{aligned} \]然後利用拉格朗日乘數建立方程組
\[\left\{ \begin{aligned} &2+\lambda(4y+6)=0\\ &1+\lambda(4x+3)=0\\ &6x+3y+4xy-8=0 \end{aligned} \right. \]然後解方程就完了
\[\left\{ \begin{aligned} &x=\frac12\\ &y=1\\ &\lambda=-\frac15 \end{aligned} \right. \]即 \(x=\frac12,y=1\) 時 \(f\) 取得最小值
代入 \(x,y\) 得 \(f_{\text{min}}=f(\frac12,1)=2\)
總結
這道題拉格朗日乘數法就簡單多了，完全不用動腦，跟著形式來就行，不管多噁心的不等式題都可以這樣暴力算
小結
唯一美中不足的是高考考綱內並沒有偏導數，所以過程並不能直接寫在答題卡上
不過問題不大，導就完了
該文為本人原創，轉載請註明出處