2.10 模擬賽總結
2.10 模擬賽總結
A. 希望
題意：
給一張 \(N\times M\) 的網格圖，圖中存在若干關鍵點，其中關鍵點一定不在圖的最左或最右兩列。
你需要走一條包含點 \((1,1)\) 的歐拉回路，滿足：
- 該回路經過所有關鍵點；
- 只有在圖的最左邊或最右邊兩列時可以沿縱向走，在任意時刻都可以沿橫向走。
求路徑的最小長度。
\(N\le10,M\le50\)。
做法：
我們記圖中第一列和最後一列的所有點叫邊緣點。
注意到若某個關鍵點被經過了，則其所在的那行裡，一定存在一個邊緣點被經過了一次，
因為對於這一行內的一個關鍵點，只有到達了這一行的邊緣點後，才可能沿橫向走到該關鍵點。
同時，當每個邊緣點是否被經過的狀態確定後，不同行內部如何抉擇是互不影響的，
那我們現在來討論一下，對於具體的一行裡兩個邊緣點狀態的所有可能，分別該如何決策。
顯然，一行內的一個關鍵點不會被經過多次，否則我們一定可以將方案調整成只經過一次且會更優，
而我們進入行的途徑只有邊緣點，故我們必然分別從兩邊緣點往行內走 \(x\in[0,m]\) 步，
再返回當前邊緣點或者到達另一端的邊緣點後繼續沿縱向行走。
而當邊緣點未經過過時需滿足步數 \(x=0\)，且兩邊走的步數之和小於 \(m\)。
形式上的，我們記該行左右兩個邊緣點分別是 \(u\) 和 \(v\)，如果一個點 \(p\) 曾被經過，則其狀態 \(s(p)=1\)。
首先，如果 \(s(u)=1\)，則我們可以選擇從 \(u\)
其次，如果 \(s(v)=1\)，則我們可以選擇從 \(v\) 出發到該行最左端的關鍵點再回到 \(v\) 點或繼續走到底；
最後，如果 \(s(u)=s(v)=1\)，則我們可以選擇分別從 \(u,v\) 出發，分別到達一對相鄰關鍵點再返回。
當然，如果該行內沒有關鍵點，我們也可以選擇不管這一行。
又因為不同行內部如何抉擇是互不影響的，
所以容易想到的是利用 狀壓DP 的思想，即記錄當前座標以及當前每一行的行走情況來求解。
具體來說，我們設計一個含有 \(O(N5^N)\) 個狀態的 狀壓DP，即：
記 \(f(i,j,S)\)
該位的五種不同的值，分別代表了該行：
從未走過，被橫穿了一次，左邊緣點曾被經過，右邊緣點曾被經過，兩邊緣點都曾被經過。
這樣的話，我們只需要處理每種狀態是否可能出現以及出現這種狀態的花費，
最後在額外計算每行沒有處理過的花費即可。
但上述方法並不能通過，而實際上這個做法還有優化空間。
但是我們發現，在轉移時，下列三種選擇對原狀態造成的影響是類似的：
橫穿一行，只從左邊緣點進入並返回，以及只從右邊緣點進入並返回。
我們發現，這三種選擇都讓當前一整行不再需要考慮，而唯一的區別是最後新到達的邊緣點位置，
故我們可以考慮不單獨記錄被橫穿，而是記錄一個數量為 \(4^N\) 的狀態，其中第 \(t\) 行對應的狀態有：
從未走過，左邊 / 右邊走了一部分但沒有走完整行，整行的關鍵點全走了一次。
這樣的狀態就顯然是是完備且可以轉移的了，
時間複雜度為 \(O(N^24^N)\)，空間複雜度為 \(O(N4^N)\)。
C. 命運
題意：
給一張 \(N\) 個點 \(M\) 條邊的無向圖，請求出圖的所有滿足不存在三元環的點匯出子圖個數。
\(N,M\le60\)。
做法：
首先，暴力的做法是列舉原圖中每個點的狀態，即該點是否出現在匯出子圖中，
再對每個匯出子圖暴力的統計其是否包含三元環，這樣的複雜度是 \(O(2^NN^3)\) 的。
我們考慮優化這個暴力，一個很靈巧的想法是考慮能否只列舉一部分點而達到同樣的效果。
那假設我們只枚舉了點集 \(S\) 中的點，記不在 \(S\) 中的點集為 \(T\)，我們考慮 \(T\) 滿足什麼性質時能正確計數。
我們發現，如果 \(T\) 是若干個樹，環，或鏈這樣的一些特殊結構時，我們就可以採用 DP 來計數，
那也就是說，我們只要能恰當的去選這個 \(S\) 集合，
使得 \(S\) 的大小足夠小，且 \(T\) 中只有我們希望出現的結構，那麼這個問題就解決了。
那最終的問題就是如何選 \(S\) 集合，我們只需要採用如下的方法即可：
我們建一張新圖 \(G\)，初始為原圖，我們一次次從將 \(G\) 中所有度數大於 \(2\) 的點和與其相連的邊刪除，
最後無法從 \(G\) 中刪點時，所有我們刪去的點集就是我們需要的 \(S\) 的一個足夠優的解。
為什麼？首先，這樣得到的 \(S\) 對應的 \(T\) 一定只存在若干個鏈和環，原因是所有點的度數都小於 \(3\)，
而只有鏈和環能滿足這個度數的要求，而因為一次刪點的同時會伴隨著刪至少 \(3\) 條邊，
故總刪邊次數不超過 \(\frac{M}{3}\) 次，故 \(S\) 的大小最大也就是 \(\frac{M}{3}\)。
那麼，我們的時間複雜度就是 \(O(2^{\frac{M}{3}}N)\) 的，已經足以通過本題。
最後，我們討論怎麼使用 DP 來對 \(T\) 計數，這個是好做的，具體來說：
首先，每個 \(T\) 中的連通塊是獨立的，我們可以分開計數，最後再把方案數乘在一起；
而對於一個連通塊，其只能是一條鏈或環，我們考慮對 \(T\) 方案的限制只有如下兩種：
其一是，一個 \(S\) 中出現在匯出子圖中的點與 \(T\) 中的一對相鄰點分別有邊，
則這對點不能同時出現在匯出子圖中，
其二是，一對 \(S\) 中出現在匯出子圖中的相鄰點與 \(T\) 中的一個點分別有邊，
則這個 \(T\) 中的點不能出現在匯出子圖中。
也就是說，在列舉 \(S\) 中點的狀態後，我們對 \(T\) 的限制只有一個點不能選，或一對相鄰點不能同時選。
而這些限制在鏈或環上都是好處理的，我們直接 DP 計數即可。