CF Round#795 D - Max GEQ Sum
阿新 • • 發佈:2022-06-01
D - Max GEQ Sum
單調棧 + st表
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如果列舉每個區間的話,就算用 st 表 \(O(1)\) 查詢,總複雜度也是 \(O(n^2)\)
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所以要想辦法減少要列舉的區間,用類似於貪心的思路,只列舉那些更容易使得 區間最大值 < 區間和 的區間
為了使區間最大值不變大,區間和不變小,可以想到用單調棧求出 \(a[i]\) 左右兩邊大於 \(a[i]\) 的第一個位置 \(L[i].\;R[i]\)(這就是若以 \(a[i]\) 為區間最大值,最多可左右拓展這麼多)
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列舉 \(a[i]\), 以 \(a[i]\) 作為最大值的區間 \([l,r]\;(L[i]+1<=l<=i<=r<=R[i]-1)\)
若不滿足條件,則 \(sum[l,i-1]+a[i]+sum[i+1,r]>a[i]\), 即 \(sum[l,i-1]+sum[i+1,r]>0\)
因為可以 \(l=i,\;r=i\), 所以 \(sum[l,i-1]\) 與 \(sum[i+1,r]\) 都可以為 0,所以 \(sum[l,i-1]+sum[i+1,r]>0\)
等價於 \(sum[l,i-1]>0\;or\;sum[i+1,r]>0\), 答案就是 NO
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因為 \(L[i]+1<=l<=i\), 所以就看最大的 \(sum[l,i-1]\) 是否大於 0,可以用 st 表 求出 \([L[i]+1,i-1]\)
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同理,看最大的 \(sum[i+1,r]\) 是否大於 0 用字首和來判斷
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <vector> #include <cmath> #include <stack> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 2e5 + 10, M = 18; const ll INF = 1e18; ll f[N][M], g[N][M], a[N], pre[N], suf[N]; int L[N], R[N]; int Log[N]; int n, m; void init() { for (int j = 0; j < M; j++) for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) if (!j) f[i][j] = pre[i], g[i][j] = suf[i]; else { f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i + (1 << j-1)][j-1]); g[i][j] = max(g[i][j-1], g[i + (1 << j-1)][j-1]); } } ll query(int l, int r, ll f[][M]) { if (l > r) return -INF; int len = r - l + 1; int k = Log[len]; return max(f[l][k], f[r - (1<<k) + 1][k]); } bool solve() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; pre[i] = pre[i-1] + a[i]; } a[n+1] = 0; for (int i = n; i >= 1; i--) suf[i] = suf[i+1] + a[i]; init(); stack<int> stk; stk.push(0); a[0] = INF; for (int i = 1; i <= n; i++) { while(!stk.empty() && a[stk.top()] <= a[i]) stk.pop(); L[i] = stk.top(); stk.push(i); } while(!stk.empty()) stk.pop(); stk.push(n + 1); a[n+1] = INF; for (int i = n; i >= 1; i--) { while(!stk.empty() && a[stk.top()] <= a[i]) stk.pop(); R[i] = stk.top(); stk.push(i); } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (query(L[i] + 1, i - 1, g) - suf[i] > 0 || query(i + 1, R[i] - 1, f) - pre[i] > 0) return false; } return true; } int main() { ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0); int T; cin >> T; for (int i = 2; i < N; i++) Log[i] = Log[i / 2] + 1; while(T--) cout << (solve() ? "YES" : "NO") << endl; return 0; }