簡介

尤拉反演是一種簡便計算式子的方法，一般用於 \(\gcd\) 求和中。適用範圍比較窄，但是相比於莫比烏斯反演，尤拉反演更加容易。

前置知識：

• 數論分塊
• 尤拉函式

尤拉函式簡介

這一部分可能與尤拉反演關係不大，大家瞭解即可。

定義 1：尤拉函式 \(\varphi(x)\) 為數論函式，表示小於等於 \(x\) 的正整數中與 \(x\) 互質的數的個數。

我們可以將 \(\varphi(x)\) 簡單地表示如下：

\[\varphi(x)=\sum_{i=1}^{x}[\gcd(i,x)=1] \]

定理 2（尤拉定理）：若兩正整數 \(a,p\) 互質，則 \(a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod{p}\)

。

定理 3（擴充套件尤拉定理）：對於任意的三正整數 \(a,b,p\)，若 \(b\geq\varphi(p)\)，則：\(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod{p}\)。

尤拉反演公式

推論 4（尤拉反演公式）：對於任意的一個正整數 \(i\)，滿足：

\[i=\sum_{d\mid i}\varphi(d) \]

證明：\(i=\sum_{d\mid i}\sum_{j=1}^{i}{[\gcd(i,j)=d]}=\sum_{d\mid i}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}{[\gcd(i,j)=1]}=\sum_{d\mid i}\varphi(\frac{i}{d})=\sum_{d\mid i}{\varphi(d)}\)

例題

例題 1

\(T\) 組資料，每一組資料給出一個正整數 \(n\) 和一個質數 \(p\)，計算：

\[\sum_{i=1}^{n}{\gcd(i,n)}\pmod{p} \]

\(1 \leq n \leq 10^7,1 \leq T \leq 2 \times 10^3,1 \leq p \leq 10^{18}\)
時間限制 \(2.00\operatorname{s}\)，記憶體限制 \(128\operatorname{MB}\)

將式子中的 \(\gcd\) 改為尤拉反演形式：

\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{d\mid \gcd(i,n)}{\varphi(d)}}\pmod{p} \]

將第二個 \(\sum\)

的下限變形，得：

\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{d\mid i,d\mid n}{\varphi(d)}}\pmod{p} \]

改為先列舉 \(d\)，得：

\[\sum_{d\mid n}\varphi(d)\sum_{i=1}^{n}[d\mid i]\pmod{p} \]

將後半邊得 \(\sum\) 消去，得：

\[\sum_{d\mid n}\varphi(d)\frac{n}{d}\pmod{p} \]

然後用線性篩求出 \(\varphi\) 函式，然後列舉因數回答詢問即可。

時間複雜度 \(O(n+T\sqrt{n})\)，可以通過本題。

例題 2

SPOJ GCDMAT - GCD OF MATRIX

題解