大家好~本課程為“真實感渲染”的線上課程，從0開始，介紹相關的圖形學演算法和數學基礎，給出詳細的數學推導、虛擬碼和實現程式碼，最終帶領大家開發出基於物理的渲染器

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目錄

• 回顧相關課程
• 為什麼要學習本課
• 主問題：什麼是2D變換
• 主問題：什麼是齊次座標
  • 為什麼要引入“齊次座標”
• 主問題：更多的2D變換有哪些
• 主問題：什麼是3D變換
• 總結
• 參考資料
• 擴充套件閱讀

回顧相關課程

• 什麼是矩陣？

為什麼要學習本課

• 3D中物體有哪些變換？
  答：平移、旋轉、縮放

• 演示相關的變換

• 3D到2D的投影需要進行變換
  

主問題：什麼是2D變換

• 如何進行縮放？
  
  

  • 縮放矩陣是多少？
    答： \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

  • 如何進行反射？
    

    • 反射矩陣是多少？
      答： \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

• 如何進行旋轉？
  
  預設為繞著原點（0, 0）逆時針旋轉

  • 旋轉矩陣是多少？
    
    \( R_\theta = \begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix} \)
    答：\( R_\theta = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \)

推導過程如下圖所示：

通過變換(1,0)點，可以得到矩陣的A、C值：

同理，通過變換(0,1)點，可以得到矩陣的B、D值

• 什麼是線性變換？
  答：

• 縮放和旋轉是否屬於線性變換？
  答：是

• 如何進行平移？
  
  

  • 它的表示式是什麼？
    答：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} \]

• 如何進行平移？
  • 能夠得到2D的平移矩陣嗎？
    答：不能
  • 平移屬於線性變換嗎？
    答：不屬於

主問題：什麼是齊次座標

為什麼要引入“齊次座標”

• 如何才能統一縮放、旋轉、平移為都使用一個矩陣來變換？
  答：引入齊次座標

• 什麼是齊次座標？
  答：

• 向量+向量=?
  答：向量

• 點-點=?
  答：向量

• 點+向量=?
  答：點

• \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0 \)
  答：
  \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = 2D 點： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ 1 \end{bmatrix} \)

• 點+點=?
  答：因為相加的結果經過上面的變換後，可變換為點，所以相加的結果為點

• 用加了齊次座標的矩陣來表達平移的表示式是什麼？
  答：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

主問題：更多的2D變換有哪些

• 什麼是仿射變換？
  答：

• 用齊次座標後如何修改？
  答：

• 用齊次座標後，縮放、旋轉、平移的矩陣是什麼？
  答：

• 什麼是逆變換？
  答：

• 如何進行組合變換？

  • 如何進行下圖的變換？
    

  答：有兩種方式：先位移再旋轉和先旋轉再位移
  

變換的順序對結果有影響！

這裡應該使用先旋轉再位移，表示式為：

• 如何進行組合變換？

  • 如何提高效能？
    答：

  • 如何繞一個點旋轉？
    答：

  • 表示式是什麼？
    答：

主問題：什麼是3D變換

• 什麼是3D的齊次座標？
  答：

• \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0 \)
  答：
  \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = 3D 點： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ \frac{z}{w} \\ 1 \end{bmatrix} \)

• 什麼是3D的仿射變換？
  答：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b& c \\ d & e& f \\ g & h& i \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \\ \end{bmatrix} \]

• 用齊次座標後如何修改？
  答：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b& c & t_x \\ d & e& f & t_y \\ g & h& i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{bmatrix} \]

總結

• 請總結本節課的內容？
• 請回答開始的問題？

參考資料

• 閆令琪-變換（二維與三維） 課件

擴充套件閱讀

• 閆令琪-變換（二維與三維） 課程錄影