【二分查詢】

定義：

二分查詢也稱折半查詢（Binary Search），是一種在有序陣列中查詢某一特定元素的搜尋演算法。我們可以從定義可知，運用二分搜尋的前提是陣列必須是有序的，這裡需要注意的是，我們的輸入不一定是陣列，也可以是陣列中某一區間的起始位置和終止位置。

前言：

二分查詢的思路不難理解，但是裡面有許多細節問題需要注意，比如邊界條件，迴圈結束條件中 left 和 right 的關係，更新 left 和 right 位置時要不要加 1 減 1。下面的三種模板，是從其他部落格整理到的，但是實際上掌握一種就行，主要需要注意細節問題，不管哪種模板一定要判斷的是 下一輪「向左找」還是「向右找」，還有 mid 是不是有可能是問題的答案，這一點應該從題目中分析得到，所以一定要認真審題~

二分查詢法兩種模板寫法：

模板一：

while (left <= right) ，這種寫法裡面的 left 和 right 都要加 1 或者減 1，還要判斷 mid 位置的值有可能是解的時候，把 mid 的值儲存下來，退出迴圈以後 left 在右，right 在左，即left == right + 1，寫成區間 [left..right] ==> [right+1, right]為空區間，表示沒找到，直接返回-1即可；

 1 class Solution {
 2     public int searchInsert(int[] nums, int target) {
 3         int
 
 left = 0, right = nums.length - 1; 
 4         while(left <= right) { // 注意
 5             int mid = left + (right - left) / 2; 
 6             if(nums[mid] == target) {   
 7               return mid;
 8             } else if(nums[mid] < target) {
 9                 left = mid + 1; // 注意
10             } else
 
 {
11                 right = mid - 1; // 注意
12             }
13         }
14         // 相關返回值
15         return -1;
16     }
17 }

模板二：

while (left < right) ，這種寫法的好處是在迴圈結束的時候不用判斷應該返回left還是right。因為迴圈結束的條件是 left ==  right，區間 [left..right] 有 1 個元素，如果可以確定區間[left, right]一定有解，直接返回left即可，否則需要對left這個位置的元素單獨判斷一次。

搜尋區間[left, right]是配對形式存在的:

• 要麼是[left, mid-1]和[mid, right]即left = mid 與 right = mid - 1，mid需要向上取整：mid = left + (right - left) / 2 ；
• 要麼是[left, mid]和[mid+1, right]即left = mid + 1 與 right = mid ；

小提醒：在寫相關邏輯語句的時候，可以在註釋裡寫上「下一輪搜尋區間是什麼」。如果下一輪搜尋區間是 [mid..right] ，這個時候就設定 left = mid，這種情況的反面區間就是 [left..mid - 1] ，那麼 else 就設定 right = mid - 1，所以就不用記憶配對關係了。

 1  class Solution {
 2      public int searchInsert(int[] nums, int target) {
 3          int left = 0, right = nums.length - 1; 
 4          while(left < right) { // 注意
 5             int mid = (left + right) / 2; // 注意
 6             if(nums[mid] <= target) {
 7                // 相關邏輯
 8                left = mid + 1
 9             } else {
10                right = mid; // 注意
11             }
12          }
13          // 相關返回值
14         return nums[left] == target ? left : -1;
15     }
16  }

 【向上取整】與【向下取整】

向上取整與向下取整主要是為了處理當只剩下兩個元素的情況，這時 left 和 right 相差1。

向上取整：把整個區間劃分成[left, mid -1] 和 [mid, right]，把mid劃分給了右區間，如果操作是選擇了包含mid的這個區間，那麼就需要mid值來更新left，如果向下取整，left和right值算出來的mid就與left相等（例如:(4+5) / 2 == 4）,再將left更新成mid，相當於沒有更新left，故需要向上取整，算出來的mid值與right相等，這樣left向右移動，得到更新，和right指向相同的值。

向下取整：把整個區間劃分成[left, mid] 和 [mid + 1, right]，把mid劃分給了左區間，如果操作是選擇了包含mid的這個區間，那麼就需要mid值來更新right，如果向上取整，left和right值算出來的mid就與right相等（例如:(5 + 4) / 2 +1 == 5）,再將right更新成mid，相當於沒有更新right，故需要向下取整，算出來的mid值與left相等，這樣right向左移動，得到更新，和left指向相同的值。

總結：

mid如果被分給了右區間，需要向上取整，保證left能夠被新值更新。

mid如果被分給了左區間，需要向上取整，保證left能夠被新值更新。