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大假期集訓模擬賽11

阿新 • • 發佈：2020-08-01

解方程

題目描述

解出一元二次方程 \(ax+by=c\) 的一組整數解 \((x0, y0)\) ,使 \(\left |x_0+y_0 \right |\) 最小。

輸入格式

共一行，三個整數 \(a\) , \(b\) , \(c\) 。

輸出格式

共一行，為 \(\left |x_0+y_0 \right |\) 的最小值。

若無解輸出 \(“kito”\) 。

樣例

樣例輸入 #1

1 1 1

樣例輸出 #1

1

樣例輸入 #2

2 3 1

樣例輸出 #2

0

資料範圍與提示

有 \(30\%\) 的資料，\(a,b\) 均為質數,\(c=1\) 。

另有 \(20\%\) 的資料，\(a,b,c\)

均為質數。

\(100\%\) 的資料，\(a,b,c\leq 1,000,000,000\) 。

思路

當時考試以為是個大數論，直接跳過，拿了特判 \(10opts\) 走人。

其實思路很簡單，\(x,y\) 只能是整數，推一下式子就行了。

設\(\left |x_0+y_0 \right |=i\)

\(\therefore x=i-y\) 或 \(x=-i-y\)

\(\therefore y=\frac {c\pm a*i} {b-a}\)

這樣只需列舉 \(i\) ，並判斷求出來的 \(y\) 是不是整數即可。

注意要特判一下 \(b==a\) ，不然會出錯。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;

const int maxn=1e9+50;
inline int read(){
	int x=0,w=1;
	char ch;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}

int a,b,c;

signed main(){
	a=read(),b=read(),c=read();
	if(c==0){//加這個會更快一丟丟
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	if(a==b){//特判a==b
		if(c%a==0){
			printf("%lld\n",c/a);
		}else{
			printf("kito\n");
		}
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<=maxn;i++){//列舉i
		if((c-a*i)%(b-a)==0){
			printf("%lld\n",i);
			return 0;
		}
		if((c+a*i)%(b-a)==0){
			printf("%lld\n",i);
			return 0;
		}
	}
	printf("kito\n");
	return 0;
}

最佳序列

題目描述

你得到了一個 \(N\) 個非負整陣列成的序列 \(A\) 。

我們稱由序列 \(A\) 的連續若干項組成的新序列為 \(A\) 的一個連續子序列。給出兩個正整數 \(L,R(L\leq R)\) 。稱 \(A\) 的每一個長度不小於 \(L\) 且不大於 \(R\) 的連續子序列為一個純潔序列，定義純潔度為純潔序列的所有元素的平均值。

請你求出所有純潔序列中的純潔度的最大值。

輸入格式

輸入檔案的第一行包括 \(3\) 個正整數 \(N,L,R\) 。

第二行包括 \(N\) 個數，按順序依次表示序列 \(A\) 的每一項。

輸出格式

輸出檔案包括一行，一個實數，保留 \(4\)

位小數，表示答案。

樣例

樣例輸入

3 2 3
6 2 8

樣例輸出

5.3333

資料範圍與提示

\(20\%\) 的資料滿足，\(1\leq N\leq 200\) 。

\(40\%\) 的資料滿足，\(1\leq N\leq 2,000\) 。

\(100\%\) 的資料滿足，\(1\leq N\leq 20,000\) , \(1\leq L\leq R\leq N\) , \(0\leq A_i\leq 1,000,000\) 。

思路

當時考試的時候想出了 \(3\) 種方法：

  • \(n^3\)的暴力，\(20,000\) 肯定會爆。

  • 在上面的基礎上用字首和優化一下，直接壓到 \(n^2\) 。

  • 用單調佇列來維護，二分查詢答案，直接壓倒 \(nlog_n\)，但是我考試的時候寫炸了。

程式碼

法二暴力

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e4+50;
inline int read(){
	int x=0,w=1;
	char ch;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}

int n,l,r;
int a[maxn],sum[maxn];
double ans;

int main(){
	n=read(),l=read(),r=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	for(register int d=l;d<=r;d++){//register優化一下
		int now=0;
		for(register int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
			now=max(now,sum[j]-sum[i-1]);//除法會比較慢，所以求出和的最大，再進行除法，會很快
		}
		ans=max(ans,(double)now/d);		
	}
	printf("%.4lf\n",ans);
	return 0;
}

法三（借用一手大佬的碼）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=20000+10;

int l,r,n;
int a[maxn];
double tmp[maxn];
double sum[maxn];
int qu[maxn];
bool pd(double x){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		tmp[i]=(double)a[i]-x;
		sum[i]=sum[i-1]+tmp[i];
	}
	int head=1,tail=0;
	int now=0;
	double ans=-1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(i-now>=l){
			while(head<=tail&&sum[qu[tail]]>=sum[now]){
				tail--;
			}
			qu[++tail]=now;
			now++;
		}
		while(head<=tail&&i-qu[head]>r){
			head++;
		}
		if(head<=tail){
			ans=max(ans,sum[i]-sum[qu[head]]);
		}
	}
	return ans>=0;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
	double fl=0,fr;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		fr=max(fr,(double)a[i]);
	}
	while(fr-fl>=1e-5){
		double mid=(fl+fr)/2;
		if(pd(mid)){
			fl=mid;
		}else{
			fr=mid;
		}
	}
	printf("%.4lf",(fl+fr)/2);
	return 0;
}

週期串查詢

題目描述

有一個串只包含數字字元。串的長度為 \(n\) ，下標從 \(1\) 開始。

有兩種操作方式：

\(1,l,r,c\) (\(1\leq l\leq r\leq n\) , \(c\) 是數字字元)，表示將 \(l\) 到 \(r\) 這一段的字元全部改成c字元；

\(2,l,r,d\) (\(1\leq l\leq r\leq n\) , \(1\leq d\leq r-l+1\))，表示詢問 \(l\) 到 \(r\) 這一段區間內的子串是否是以d為週期的串。

字串 \(s\) 是以 \(x\) \((1\leq x\leq \left |s \right |)\) ,為週期的串的條件是：對於所有的 \(i\) 從 \(1\) 到\(\left |s \right |-x\) ， \(s_i = s_i + x\) 都成立。

輸入格式

單組測試資料。

第一行有兩個整數\(n, m ,k (1\leq n\leq 10^5, 1\leq m+k\leq 10^5)\)，表示字串長度和修改次數和詢問次數。

第二行給出原始的串包含 \(n\) 位數字字元。

接下來 \(m+k\) 行，每行一個操作。

有兩種形式：

\(1,l,r,с\) (\(1\leq l\leq r\leq n\) , \(c\) 是數字字元)；

\(2,l,r,d\) (\(1\leq l\leq r\leq n\) , \(1\leq d\leq r-l+1\))。

輸出格式

對於每一個詢問，如果該段子串是以 \(d\) 為週期的，輸出 \(YES\) ，否則輸出 \(NO\) 。

樣例

樣例輸入

3 1 2
112
2 2 3 1
1 1 3 8
2 1 2 1

樣例輸出

NO
YES

資料範圍與提示

在這個樣例中第一個詢問的時候子串是“ \(12\) ”，他不是以 \(1\) 為週期的，所以答案是 \(NO\) 。第二個詢問的時候子串是“ \(88\) ”，是以 \(1\) 為週期的，所以答案是 \(YES\) 。

思路

\(hash\) 線段樹的老闆子了，但是 \(memset+memcmp\) 也能卡過，而且還不好卡，正解線段樹反而更慢。

程式碼

memset+memcmp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e5+50,INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int x=0,w=1;
	char ch;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}

int n,m,k;
char a[maxn];

int main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	scanf("%s",a+1);
	for(int i=1;i<=m+k;i++){
		int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read();
		if(opt==1){
			memset(a+l,x+'0',r-l+1);
		}else{
			if(memcmp(a+l,a+l+x,r-l-x+1)){
				puts("NO");
			}else{
				puts("YES");
			}
		}
	}
	return 0;
}

hash

#include <bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long 
using namespace std;

const int maxn=2e7+50,mod=1e9+9,base=17;

inline int read(){
	int x=0,w=1;
	char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}

int n,m;
char s[maxn];
int a[maxn],b[maxn];
struct Node{
	int l,r,lazy;
	int hash;
}node[maxn];
void Pushup(int x){
	node[x].hash=((node[x<<1].hash*a[node[x<<1|1].r-node[x<<1|1].l+1]+node[x<<1|1].hash)%mod+mod)%mod;
}

void Pushdown(int x){
	if(node[x].lazy+1){
		node[x<<1].lazy=node[x<<1|1].lazy=node[x].lazy;
		node[x<<1].hash=b[node[x<<1].r-node[x<<1].l]*node[x].lazy%mod;
		node[x<<1|1].hash=b[node[x<<1|1].r-node[x<<1|1].l]*node[x].lazy%mod;
		node[x].lazy=-1;
	}
	return;
}

void Build(int rt,int l,int r){
	node[rt].l=l;
	node[rt].r=r;
	node[rt].lazy=-1;
	if(l==r){
		node[rt].hash=s[l]-'0'+1;
		return;
	}
	int mid=(node[rt].l+node[rt].r)>>1;
	Build(rt<<1,l,mid);
	Build(rt<<1|1,mid+1,r);
	Pushup(rt);
}

void Add(int rt,int l,int r,int w){
	if(node[rt].l==l&&node[rt].r==r){
		node[rt].lazy=w;
		node[rt].hash=b[node[rt].r-node[rt].l]*w%mod;
		return;
	}
	Pushdown(rt);
	int mid=(node[rt].l+node[rt].r)>>1;
	if(mid>=r){
		Add(rt<<1,l,r,w);
	}else if(l>mid){
		Add(rt<<1|1,l,r,w);
	}else{
		Add(rt<<1,l,mid,w);
		Add(rt<<1|1,mid+1,r,w);
	}
	Pushup(rt);
}
int Query(int rt,int l,int r){
	if(l>r)return 0;
	if(node[rt].l==l&&node[rt].r==r){
		return node[rt].hash;
	}
	Pushdown(rt);
	int mid=(node[rt].l+node[rt].r)>>1;
	if(mid>=r){
		return Query(rt<<1,l,r);
	}else if(mid<l){
		return Query(rt<<1|1,l,r);
	}else {
		return (Query(rt<<1,l,mid)*a[r-mid]+Query(rt<<1|1,mid+1,r))%mod;
	}
}

signed main(){
	n=read();m=read();
	scanf("%s",s+1);
	a[0]=1;
	b[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i-1]*base%mod;
		b[i]=(b[i-1]*base+1)%mod;
	}
	Build(1,1,n);
	while(m--){
		int pd=read(),l=read(),r=read(),x=read();
		if(pd==1){
			Add(1,l,r,x+1);
		}else{
			if(Query(1,l,r-x)==Query(1,l+x,r)){
				printf("YES\n");
			}else{
				printf("NO\n");
			}
		}
	}
	return 0;
}

追捕

題目描述

\(Duan2baka\) ：“\(jmsyzsfq\) 天下第一蠢！”

\(jmsyzsfq\) ：“你說什麼？！”

於是 \(Duan2baka\) 開始了逃亡的旅程，而 \(jmsyzsfq\) 也開始追捕 \(Duan2baka\) 。

他們來到了一個有 \(n\) 個節點的有向圖，迅速逃跑的 \(Duan2baka\) 會首先降落在有向圖的某個節點T上，因為怕發出聲音，他會永遠靜止不動。而隨後跟來的 \(jmsyzsfq\) 會降落在圖上隨機一個節點 \(S\) 上（可以與 \(T\) 相同），並可以沿著圖中的有向邊隨意走動。

因為 \(jmsyzsfq\) 有著敏銳的嗅覺而且絕頂聰明，他一定會沿著正確的方向尋找 \(Duan2baka\) 。你可以認為，如果圖中存在一條合法的從 \(S\) 到 \(T\) 的路徑，那麼 \(jmsyzsfq\) 一定會抓到 \(Duan2baka\) ——因此 \(jmsyzsfq\) 能否追捕到 \(Duan2baka\) 在他剛剛降落在圖上的時候就已經確定了。

現在請你幫幫 \(jmsyzsfq\) ，在他降落前告訴他有多大的概率能夠追捕到 \(Duan2baka\) ，並告訴他想要追到 \(Duan2baka\) 他可以降落在哪些節點上。

輸入格式

輸入第一行包含三個整數\(n\) ， \(m\) ， \(opt\) ，表示圖中有 \(n\) 個節點，\(m\) 條有向邊；\(opt\) 為 \(0\) 或 \(1\) ，含義見輸出格式所述。

輸入第 \(2\) 至 \(m+1\) 行每行兩個整數 \(u\) ，\(v\) 描述了圖中一條從 \(u\) 到 \(v\) 的有向邊。

輸入第 \(m+2\) 行一個整數 \(T\) 表示 \(Duan2baka\) 降落的位置。

輸出格式

如果輸入的 \(opt\) 為 \(0\) ，只需要輸出 \(jmsyzsfq\) 能夠追捕到 \(Duan2baka\) 的概率。

如果輸入的 \(opt\) 為 \(1\) ，輸出兩行，第一行輸出 \(jmsyzsfq\) 能夠追捕到 \(Duan2baka\) 的概率；第二行按從小到大輸出想要追到 \(Duan2baka\) 他可以降落的節點編號，編號間用空格隔開。

對於 \(jmsyzsfq\) 能夠追捕到 \(Duan2baka\) 的概率，是一個既約分數，形如“ \(a/b\) ”（\(a，b\) 為整數），使 \(gcd(a,b)=1\) ，如果 \(a=b\) ,輸出 \(1/1\) 。

樣例

樣例輸入 #1

9 10 1
1 2
2 1
2 4
6 1
9 6
6 5
5 3
3 7
3 1
1 8
1

樣例輸出 #1

2/3
1 2 3 5 6 9

樣例 #1解釋

圖中共 \(9\) 個節點，能夠到達節點 \(S=1\) 的節點共 \(6\) 個：\({1,2,3,5,6,9}\) 。所以能夠追捕到 \(Duan2baka\) 的概率為 \(6/9=2/3\) 。

樣例輸入 #2

5 7 1
1 2
1 3
1 5
2 4
4 1
4 5
5 3
1

樣例輸出 #2

3/5
1 2 4

資料範圍與提示

\(opt=0\) 和 \(opt=1\) 的資料各 \(50\%\) 。

對於 \(opt=0\) 和 \(opt=1\) 的情況，有著完全相同的子任務：

對於 \(10\%\) 的資料，\(n,m\leq 100\) 。

對於另外 \(30\%\) 的資料，\(n,m\leq 100,000\) 。

對於另外 \(10%\) 的資料，保證圖是一個完全圖，即對於任意兩個點 \(u\) 和 \(v\) ，必然有兩條有向邊 \(u→v\) 和 \(v→u\) 。

對於另外 \(20\%\) 的資料，保證圖是一個有向無環圖，即對於任意一個點 \(x\) ，不存在圖上一條路徑從 \(x\) 經過其它點後回到 \(x\) 。

對於另外 \(20%\) 的資料，保證如果圖上存在一條邊 \(u→v\) ，一定存在一條邊 \(v→u\) 。

對於 \(100\%\) 的資料，\(n,m\leq 1,000,000\) ，保證資料合法且不存在重邊、自環。

思路

裸的 \(DFS\) ，根本沒有思路可言，反向建邊，反向跑一遍 \(DFS\) ，這不是有手就行？？？

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e6+50,INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int x=0,w=1;
	char ch;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}

int n,m,opt,s;
int ans;
int vis[maxn];
int path[maxn];

struct Edge{
	int to,next;
}e[maxn];

int GCD(int a,int b){
	return b==0 ? a : GCD(b,a%b);
}

int tot,head[maxn];
void Add(int u,int v){
	e[++tot].to=v;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
}

void DFS(int u){
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(vis[v])continue;
		vis[v]=1;
		DFS(v);
	}
}

int main(){
	n=read(),m=read(),opt=read();
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		int u=read(),v=read();
		Add(v,u);//反向建邊
	}
	s=read();
	DFS(s);//從終點往其他方向跑
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i]){
			path[++ans]=i;
		}	
	}
	int chu=GCD(ans,n);
	if(chu!=1){
		printf("%d/%d",ans/chu,n/chu);
	}else{
		printf("%d/%d",ans,n);
	}
	if(opt==1){
		printf("\n");
		for(register int i=1;i<=ans;i++){
			printf("%d ",path[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

不等式

題目描述

小 \(z\) 熱衷於數學。

今天數學課的內容是解不等式： \(L\leq S\times x\leq R\) 。

小z心想這也太簡單了，不禁陷入了深深的思考：假如已知 \(L,R,S,M\) ，滿足 \(L\leq (S\times x)mod M\leq R\) 的最小正整數該怎麼求呢？

輸入格式

第一行包含一個整數 \(T\) ，表示資料組數，接下來是 \(T\) 行，每行為四個正整數 \(M,S,L,R\) 。

輸出格式

對於每組資料，輸出滿足要求的 \(x\) 值，若不存在，輸出 \(-1\) 。

樣例

樣例輸入

1
5 4 2 3

樣例輸出

2

資料範圍與提示

\(30\%\) 的資料中保證有解並且答案小於等於 \(10^6\)；

另外 \(20\%\) 的資料中保證 \(L=R\)；

\(100\%\) 的資料中 \(T\leq 100,M,S,L,R\leq 10^9\)。

思路

待更新~~~~~~~~~

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