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題意

給定正整數\(n，k\)，計算\((k \; mod\; 1)+(k\; mod\; 2)+(k\; mod\; 3)+\dots +(k\; mod\; n)\)的值,

資料範圍

\(1\leq n,k \leq 10^{9}\)

題解

證明\(\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \times i\)最多隻有\(2 \sqrt{k}\)個值，

• 當$ i \leq \sqrt{k}\(的時候，最多有\)\sqrt{k}$個不同的取值
• 當\(i>\sqrt{k}\)的時候，\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor < \sqrt{k}\)
  , 故最多有\(\sqrt{k}\)個不同的取值

易知\(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)相同的必定是連續的，若某一個相等區間\(x\)是下界，上界是\(\left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}\right\rfloor\)
時間複雜度：\(O(\sqrt{k})\)，
證明：
令 \(l = x\)，\(r = \left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}\right\rfloor\), \(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans;
int main(){
    ll n,k,l,r;
    cin>>n>>k;
    ans=n*k;
    for(l = 1;l<=n;l=r+1){
        if(k/l == 0) break;//0對答案無貢獻
        r=min(k/(k/l),n);
        ans-=(ll) (k/l) *(l+r)  *(r-l+1)/2;//等差數列
    }
    cout<<ans<<endl;
}

時間複雜度\(O(\sqrt{k})\)