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講dp！！！

我們來通過通過幾道例題來體會一下什麼是dp

01揹包

將n件有著各自體積和價值的物品裝入一個容積為m的揹包中，求最大的總價值

狀態：\(f[i][j]\)表示前\(i\)件物品放入揹包為\(j\)的揹包中所能獲得的最大總價值

轉移：\(f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])\)

結果：\(f[n][m]\)

最長不下降子序列

給出一個長度為n 的序列，求最長的子序列，滿足這些元素依次不減

狀態：設\(f[i]\)表示以\(i\)為結尾的最長不下降子序列的最長長度

轉移：\(f[i] = max(f[j]+1)\)

結果：\(max(f[i])\)

上面是\(O(n^2)\)做法，還有一種\(O(nlogn)\)的做法：

狀態：設\(f[i]\)表示長度為\(i\)的的最長不下降子序列的最後一個元素的最小值

舉個例子：

有序列\(a[] = {8,2,3,5,7,6,4}\)，所以可得：

\(f[0] = 0,f[1] = 2, f[2] = 3, f[3]=5,f[4]=7\)(第一遍掃)

遇到\(6\)考慮更新\(f[4]\)，遇到\(4\)考慮更新\(f[3]\)

至於為什麼是logn的，因為每次是二分查詢（\(lower\)_\(bound\)是log的）

再次考慮\(dp\)

要把式子推出來再去寫程式碼

下面有幾道一般dp，沒什麼特點，就是難

渡河問題

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狀態：\(f[i]\)表示將前\(i\)頭牛運到對岸的時間

轉移：\(f[i] = min(f[j]+2*M+sum[i-j])\)其中\(sum\)為字首和

結果：\(f[n]\)

解題

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給出貪心的\(Hack\)資料：

50 5  
40 10  
10 40  
10 5  
10 3  
10 2

狀態：\(f[i][j]\)表示處理\(1\)到\(j\)的題，最後一次選擇了\(i\)到\(j\)的最短月數

轉移：\(f[i][j] = min(f[k][i-1]+1/2)\)

結果：\(min(f[i][p])+1\)