A題：a^b

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/996/A

題目描述
求 a 的 b 次方對 p 取模的值，其中 0 <= a,b,p <= 10^9

輸入描述:
三個用空格隔開的整數a,b和p。

輸出描述:
一個整數，表示a^b mod p的值。

例項：
輸入： 2 3 9
輸出： 8

思路：
這道題是要先算出a的b次冪再對其結果進行求模（取餘），因為b最大可為1e+9，按普通做法來做時間複雜度就太大了，顯然這樣過不了題，
能快速算a的b次冪，就能減小時間複雜度，快速冪就是一種不錯的方法。

什麼是快速冪：
快速冪是一種簡化運算底數的n次冪的演算法，理論上其時間複雜度為 O(log₂N)，而一般的樸素演算法則需要O(N)的時間複雜度。簡單來說快速冪其實就是抽取了指數中的2的n次冪，將其轉換為時間複雜度為O(1)的二進位制移位運算，所以相應地，時間複雜度降低為O(log₂N)。

程式碼原理：
以 \(a^{13}\) 為例，
先把指數13化為二進位制就是1101，把二進位制數字1101直觀地表現為十進位制則是如下的等式：

\[13 = 1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 0 * (2^ 1) + 1 * (2^0) \]

這樣一來 \(a^{13}\) 可以如下算出：

\[a^{13} = a ^ {(2^3)} * a ^ {(2^2)} * a ^ {(2^0)} \]

完整AC程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;//將long long型別取個別名：ll型別，為了方便

int power(int a, int b, int mod) {
	ll ans = 1 % mod;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = (ll)a * a % mod;//顯式轉化為ll型別進行高精度計算，再隱式轉化為int
	}
	return ans;
}

int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	int a, b, mod;
	cin >> a >> b >> mod;
	cout << power(a, b, mod) << endl;
}
 

C題：64位整數乘法

連結：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/996/C

思路：

類似快速冪的思想，把整數b用二進位制表示，即

\[b = c_{k - 1}2^{k - 1} + c_{k -2}2^{k - 2} + ... + c_02^0 \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	ll a, b, p; cin >> a >> b >> p;
	ll ans = 0;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1)ans = (ans + a) % p;
		a = (a << 1) % p;
	}
	cout << ans << endl;
}
 

D題：最短Hamilton路徑

連結：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/996/D

解題思路

AC程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
int e[21][21], b[1 << 21][21], n;
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			cin >> e[i][j];
	ms(b, 0x3f); b[1][0] = 0;
	for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
		for (int j = 0; j < n; ++j) if (i >> j & 1)
			for (int k = 0; k < n; ++k) if (~(i >> k) & 1)//if ((i ^ 1 << j) >> k & 1)
				b[i + (1 << k)][k] = min(b[i + (1 << k)][k], b[i][j] + e[j][k]);
	cout << b[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
}