[NOI2017]遊戲「2-SAT」

題目描述

小 L 計劃進行 \(n\) 場遊戲，每場遊戲使用一張地圖，小 L 會選擇一輛車在該地圖上完成遊戲。

小 L 的賽車有三輛，分別用大寫字母 \(A\)、\(B\)、\(C\) 表示。地圖一共有四種，分別用小寫字母 \(x\)、\(a\)、\(b\)、\(c\) 表示。

其中，賽車 \(A\) 不適合在地圖 \(a\) 上使用，賽車 \(B\) 不適合在地圖 \(b\) 上使用，賽車 \(C\) 不適合在地圖 \(c\) 上使用，而地圖 \(x\) 則適合所有賽車參加。

適合所有賽車參加的地圖並不多見，最多隻會有 \(d\) 張。

\(n\) 場遊戲的地圖可以用一個小寫字母組成的字串描述。例如：\(S=\texttt{xaabxcbc}\)

小 L 對遊戲有一些特殊的要求，這些要求可以用四元組 \((i, h_i, j, h_j)\) 來描述，表示若在第 $i4 場使用型號為 \(h_i\)​ 的車子，則第 \(j\) 場遊戲要使用型號為 \(h_j\)​ 的車子。

你能幫小 L 選擇每場遊戲使用的賽車嗎？如果有多種方案，輸出任意一種方案。

如果無解，輸出 -1。

輸入格式

輸入第一行包含兩個非負整數 \(n\), \(d\)。

輸入第二行為一個字串 \(S\)。

\(n\), \(d\), \(S\) 的含義見題目描述，其中 \(S\) 包含 \(n\) 個字元，且其中恰好 \(d\) 個為小寫字母 \(x\)。

輸入第三行為一個正整數 \(m\) ，表示有 \(m\) 條用車規則。

接下來 \(m\) 行，每行包含一個四元組 \(i,h_i,j,h_j\) ，其中 \(i,j\) 為整數，\(h_i,h_j\)​ 為字元 \(A\) 、\(B\) 或 \(C\)

輸出格式

輸出一行。

若無解輸出 -1。

若有解，則包含一個長度為 \(n\) 的僅包含大寫字母 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的字串，表示小 L 在這 \(n\) 場遊戲中如何安排賽車的使用。如果存在多組解，輸出其中任意一組即可。

輸入輸出樣例

輸入 #1

3 1
xcc
1
1 A 2 B

輸出 #1

ABA

思路分析

來，今天我們學習\(2-SAT\),首先從這個黑題入手

• 每個地圖都有兩個或三個狀態可選，另加了一些限制，顯然是一道 \(2—SAT\) 的題
• 關鍵在於對於 \(x\) 地圖，有三種狀態，難不成弄個 \(3—SAT\) ？然而這個做法已被證明是 \(NPC\)
• 為了變成 \(2-SAT\) 問題，我們將 $x $地圖分類討論，第一種是不能選 \(A\) ，第二種不能選 \(B\)，這時候選 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的情況就都已經囊括了，不須再進一步列舉
• 接下來是連邊，對於每個四元組 \(i,h_i,j,h_j\)：
  • \(h_i\) 是不可選的，不需連邊，跳過即可
  • \(h_j\) 是不可選的，則需要建邊強制i不能選 \(h_i\)
  • 都可選，直接連邊，表示同時選，另外再根據逆否命題建一個反向邊，即同時不選

細節真的超多
\(Code\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 500100
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,d,m,dfs_clock,scc_cnt,dfn[N],low[N],head[N],sta[N],top,belong[N],in[N],a[N],b[N],gn[N];
char s[N],h1[N],h2[N],ans[N];
struct edge{
	int to,next;
}e[N<<2];
int len;
void addedge(int u,int v){
	e[++len].to = v;
	e[len].next = head[u];
	head[u] = len;
}
void Init(){ //每次改變x圖的狀態都要重新建圖
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(low,0,sizeof(low));
	memset(belong,0,sizeof(belong));
	memset(in,0,sizeof(in));
	memset(sta,0,sizeof(sta));
	dfs_clock = scc_cnt = top  = len = 0;
}
void Tarjan(int u){ //Tarjan縮點
	dfn[u] = low[u] = ++dfs_clock;
	sta[++top] = u;
	in[u] = 1;
	for(int i = head[u];i;i=e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(!dfn[v]){
			Tarjan(v);
			low[u] = min(low[u],low[v]);
		}
		else if(!belong[v])low[u] = min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		scc_cnt++;
		while(1){
			int x = sta[top--];
			belong[x] = scc_cnt;
			in[x] = 0;
			if(u==x)break;
		}
	}
}
bool check(){//尋找可行方案
	for(int i = 1;i <= (n<<1);i++)if(!dfn[i])Tarjan(i);
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(belong[i]==belong[i+n])return false; //兩個狀態出現在了一個scc裡，就沒有合理方案
		if(belong[i]<belong[i+n])ans[i] = (s[i]=='A') ? 'B' : 'A'; //根據字典序優先，第一個狀態只能是A或C
		else ans[i] = (s[i]=='C') ? 'B' : 'C'; //同理
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)putchar(ans[i]); //找到一種方案輸出就行了
	return true;
}
int main(){
	n = read(),d = read();
	d = 0;
	scanf("%s",s+1);
	m = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++)if((s[i]-=32)&&s[i]=='X')gn[++d] = i; //x圖儲存起來
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		a[i] = read();scanf(" %c",&h1[i]);
		b[i] = read();scanf(" %c",&h2[i]);
	}
	bool flag = 0;
	for(int i = 0;i <= (1<<d)-1;i++){ //列舉2^d個狀態，這裡用了2進位制位，每個x圖相應的2進位制位為1就不能A，否則不能選B
		Init();
		for(int j = 1;j <= d;j++)s[gn[j]] = (i&(1<<(j-1))) ? 'A' : 'B';
		for(int j = 1;j <= m;j++){
			if(h1[j] == s[a[j]])continue;
			if(h2[j] == s[b[j]]){
				if(h1[j]=='C' || (h1[j] =='B'&&s[a[j]]=='C'))addedge(a[j]+n,a[j]); //這裡的if是根據字典序大小而進行連邊操作
				else addedge(a[j],a[j]+n);
				continue;
			}
			int add1,add2;
			if(h1[j] == 'C' || (h1[j] == 'B' && s[a[j]] == 'C')) add1 = n;
            else add1 = 0;
            if(h2[j] == 'C' || (h2[j] == 'B' && s[b[j]] == 'C')) add2 = n;
            else add2 = 0;
            addedge(a[j] + add1, b[j] + add2);
            addedge(b[j] - add2 + n, a[j] - add1 + n); //反向邊，巧妙處理
        }
        if(check()){flag = 1;break;}
    }
    if(!flag)printf("-1");
    return 0;
}