8月月賽I題解

阿新 • • 發佈：2020-08-08

Div 2

Div 1

Div2 A

題目

建議評分：橙。

我的做法：不管，這是一道高精題（確信，使用高精模板即可。

時間複雜度\(O(\lg k)\)，空間複雜度\(O(x)\)。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
const ll SIZE=505;
ll x,k,ans[SIZE];
void print(ll *a){
	ll i;
	for(i=SIZE-1;i>0;i--) if(a[i]>0) break;
	for(;i>=0;i--) cout<<a[i]; cout<<endl;
}
int main(){
	cin>>x>>k;
	ans[x]=1;
	ans[0]+=k;
	for(ll i=1;ans[i-1]>=10;i++){
		ans[i]+=ans[i-1]/10;
		ans[i-1]%=10;
	}
	print(ans);
	return 0;
}

Div2 B

題目

建議評分：黃。

結論題。

我們有如下幾個結論：

對於任意給定的\(a,b\)，我們可以用一次\(1\)操作和一次\(2\)操作變成0。

證明：我們可以先用\(1\)操作，使得一個數變成\(0\)，另一個數變成一個非負數，然後再用\(2\)操作，將\(0\)乘上\(x\)，另一個數除以\(x\)，只要取\(x\)充分大可以全為\(0\)。

對於任意給定的\(a,b\)，我們可以用兩次\(2\)操作變成0。

證明：我們可以先用\(2\)操作，使得一個數變成\(0\)，另一個數變成一個非負數，然後再用\(2\)操作，將\(0\)乘上\(x\)，另一個數除以\(x\)，只要取\(x\)

充分大可以全為\(0\)。

當\(a=b\)時，可以只用一次\(1\)操作變成0。

證明：顯然。

當\(a=0\)或\(b=0\)時，可以只用一次\(2\)操作變成0.

證明：使用一次\(2\)操作，將\(0\)乘上\(x\)，另一個數除以\(x\)，只要取\(x\)充分大可以全為\(0\)。

當\(a=b=0\)時，不需要任何操作。

證明：顯然。

時空複雜度均為\(O(1)\)。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,c,d,ans;
int main(){
	cin>>a>>b>>c>>d;
	ans=min(c+d,d*2);
	if(a==0&&b==0)ans=0;
	if(a==0||b==0)ans=min(ans,d);
	if(a==b)ans=min(ans,c);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

Div1 A

題目

建議評分：藍。

考慮貪心，我們可以發現對於每一個二進位制位來說，我們更希望他是\(1\)，即使後面全都是\(0\)。

於是我們預處理出每一位上\(0\)的個數和\(1\)的個數，在查詢的時候我們只要考慮如果這一位填\(1\)會不會導致後面無法填，這顯然可以用字首和維護一下。

具體地，令\(sum_{i,j}\)表示\(x\)二進位制下的第\(i\)位填\(j\)的貢獻，\(min_i\)表示只考慮前\(i\)位的情況下，\(\sum(a_i\operatorname{xor}x)\)的最小值。

這裡\(sum_{i,j}\)可以暴力預處理，\(min_i\)就是\(\min\{sum_{i,0},sum_{i,1}\}\)的字首和。

考慮從第一位開始往後填，設填到第\(i\)位時的要求為\(m\)，則只要\(m\ge min_{i-1}+sum_{i,0}\)，就可以填\(1\)，否則填\(0\)。

時間複雜度\(O((n+q)\log m)\)，空間複雜度\(O(n+\log m)\)。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
const ll N=100005,M=50;
ll n,q,m,a[N],sum[M][2],mi[M];
inline int getbit(ll x,int p){return (x&(1LL<<p))>>p;}
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
inline void read(ll&x){
    x=0;char s=gc();
    while(!isdigit(s))s=gc();
    while(isdigit(s))x=x*10+(s^'0'),s=gc();
}
void print(ll x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int main(){
	read(n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(ll i=0;i<M;i++)
		for(ll j=1;j<=n;j++)
			sum[i][getbit(a[j],i)]+=(1LL<<i);
	mi[0]=min(sum[0][0],sum[0][1]);
	for(ll i=1;i<M;i++)mi[i]=mi[i-1]+min(sum[i][0],sum[i][1]);
	for(read(q);q--;){
		read(m);
		if(m<mi[M-1]){puts("-1");continue;}
		ll ans=0;
		for(ll i=M-1;i>=0;i--){
			if(i==0&&m>=sum[i][0]||i>0&&m>=mi[i-1]+sum[i][0])ans|=(1LL<<i),m-=sum[i][0];
			else m-=sum[i][1];
		}
		print(ans),puts("");
	}
	return 0;
}