CF1392H ZS Shuffles Cards

題意：有 \(n+m\) 張牌，其中前 \(n\) 張牌上分別標著 \(1,2,\cdots,n\) 的數字，後 \(m\) 張牌是鬼牌。現在我們打亂這些牌，然後開始抽牌遊戲，每一輪你可以抽一張牌：

• 如果抽到了一張標有數字 \(x\) 的牌，就移除這張牌，並將 \(x\) 加入一個集合 \(S\) ；
• 如果抽到了鬼牌，就把移除的牌重新加入牌堆，再次打亂所有牌的順序，重新開始抽牌。如果你抽到了鬼牌，並且集合 \(S\) 已經包括了 \([1,n]\) 中全部 \(n\) 個數，那麼抽牌遊戲結束。

詢問抽牌遊戲結束的期望輪數。

題解：我們設每次抽到一張鬼牌並重排牌序之前的抽卡流程為一次迭代，我們先求出這一次迭代的期望輪數，顯然可以列出式子：

\[\begin{aligned} E(x)&=1\times\frac{m}{n+m}+2\times\frac{n}{n+m}\frac{m}{n+m-1}+3\times\frac{n}{n+m}\frac{n-1}{n+m-1}\frac{m}{n+m-2}+\cdots \\ &=\sum^{n+1}_{i=1}i\times\frac{m}{n+m+1-i}\prod^{i-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j} \end{aligned} \]

直接計算這個式子的複雜度是 \(O(n^2\log n)\) ，顯然不行，但是觀察一下不難發現後面的連乘式子的重複率非常高，設 \(w_k=\prod^{k-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j}\)

\[\begin{aligned} w_{k+1}=\frac{n-k+1}{n+m-k+1}w_k \end{aligned} \]

因此我們可以 \(O(n\log n)\) 計算出這個期望：

\[E(x)=\sum^{n+1}_{i=1}\frac{im}{n+m+1-i}w_i \]

然後我們考慮一共需要迭代幾次才能使得集合中包含 \(1\) 到 \(n\) 中的所有數。我們設 \(f_k\) 表示還有 \(k\) 個不存在於集合中的數時，結束遊戲還需要的期望迭代次數，不難推出一下轉移式：

\[\begin{aligned} f_k&=\frac{m}{m+k}(f_k+1)+\frac{k}{m+k}f_{k-1} \\ \Leftrightarrow\ f_k&=f_{k-1}+\frac{m}{k} \end{aligned} \]

差分一下不難得到：\(f_n=f_1+\sum^n_{i=2}\frac{m}{i}\) ，因此我們現在只需要求出 \(f_1\) 的值，這實際上就是一個幾何分佈，直接求出期望為 \(\frac{1}{\frac{1}{m+1}}=m+1\) 。因此總共的期望迭代次數 \(f_n=m+1+\sum^n_{i=2}\frac{m}{i}=1+m\sum^n_{i=1}\frac{1}{i}\) 。

本題答案即每次迭代的期望輪數乘以總共的期望迭代次數：

\[\begin{aligned} E_{total}=E(x)(1+m\sum^n_{i=1}\frac{1}{i}) \end{aligned} \]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 直接宣告 Mint 類即可呼叫
template <typename T>
T inverse(T a, T m) { // a % m 的逆元
	T u = 0, v = 1;
	while (a != 0) {
		T t = m / a;
		m -= t * a; swap(a, m);
		u -= t * v; swap(u, v);
	}
	assert(m == 1);
	return u;
}

template <typename T>
class Modular {
public:
	using Type = typename decay<decltype(T::value)>::type;

	constexpr Modular() : value() {}
	template <typename U>
	Modular(const U& x) {
		value = normalize(x);
	}

	template <typename U>
	static Type normalize(const U& x) {
		Type v;
		if (-mod() <= x && x < mod()) v = static_cast<Type>(x);
		else v = static_cast<Type>(x % mod());
		if (v < 0) v += mod();
		return v;
	}

	const Type& operator()() const { return value; }
	template <typename U>
	explicit operator U() const { return static_cast<U>(value); }
	constexpr static Type mod() { return T::value; }

	Modular& operator+=(const Modular& other) { if ((value += other.value) >= mod()) value -= mod(); return *this; }
	Modular& operator-=(const Modular& other) { if ((value -= other.value) < 0) value += mod(); return *this; }
	template <typename U> Modular& operator+=(const U& other) { return *this += Modular(other); }
	template <typename U> Modular& operator-=(const U& other) { return *this -= Modular(other); }
	Modular& operator++() { return *this += 1; }
	Modular& operator--() { return *this -= 1; }
	Modular operator++(int) { Modular result(*this); *this += 1; return result; }
	Modular operator--(int) { Modular result(*this); *this -= 1; return result; }
	Modular operator-() const { return Modular(-value); }

	template <typename U = T>
	typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) { // 適配 32 位機需要新增以下程式碼
//#ifdef _WIN32
//		uint64_t x = static_cast<int64_t>(value)* static_cast<int64_t>(rhs.value);
//		uint32_t xh = static_cast<uint32_t>(x >> 32), xl = static_cast<uint32_t>(x), d, m;
//		asm(
//			"divl %4; \n\t"
//			: "=a" (d), "=d" (m)
//			: "d" (xh), "a" (xl), "r" (mod())
//		);
//		value = m;
//#else
		value = normalize(static_cast<int64_t>(value)* static_cast<int64_t>(rhs.value));
		//#endif
		return *this;
	}
	template <typename U = T>
	typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int64_t>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) {
		int64_t q = static_cast<int64_t>(static_cast<long double>(value)* rhs.value / mod());
		value = normalize(value * rhs.value - q * mod());
		return *this;
	}
	template <typename U = T>
	typename enable_if<!is_integral<typename Modular<U>::Type>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) {
		value = normalize(value * rhs.value);
		return *this;
	}

	Modular& operator/=(const Modular& other) { return *this *= Modular(inverse(other.value, mod())); }

	template <typename U>
	friend bool operator==(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);

	template <typename U>
	friend bool operator<(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);

	template <typename U>
	friend std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<U>& number);

private:
	Type value;
};

template <typename T> bool operator==(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return lhs.value == rhs.value; }
template <typename T, typename U> bool operator==(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return lhs == Modular<T>(rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator==(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) == rhs; }

template <typename T> bool operator!=(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return !(lhs == rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator!=(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return !(lhs == rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator!=(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return !(lhs == rhs); }

template <typename T> bool operator<(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return lhs.value < rhs.value; }

template <typename T> Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator+(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }

template <typename T> Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator-(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }

template <typename T> Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator*(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }

template <typename T> Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator/(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }

template<typename T, typename U>
Modular<T> powmod(const Modular<T>& a, const U& b) {
	assert(b >= 0);
	Modular<T> x = a, res = 1;
	U p = b;
	while (p > 0) {
		if (p & 1) res *= x;
		x *= x;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

template <typename T>
string to_string(const Modular<T>& number) {
	return to_string(number());
}

template <typename T>
std::ostream& operator<<(std::ostream& stream, const Modular<T>& number) {
	return stream << number();
}

template <typename T>
std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<T>& number) {
	typename common_type<typename Modular<T>::Type, int64_t>::type x;
	stream >> x;
	number.value = Modular<T>::normalize(x);
	return stream;
}

/*
using ModType = int;

struct VarMod { static ModType value; };
ModType VarMod::value;
ModType& md = VarMod::value;
using Mint = Modular<VarMod>;
*/

constexpr int md = 998244353; // Mint類模數
using Mint = Modular<std::integral_constant<decay<decltype(md)>::type, md>>;
// 多模數的情況可以宣告多個 Mint 例如 using Mint1, Mint2, ...

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	Mint m, n;
	cin >> n >> m;
	Mint res = 0, pre = 1;
	for (int i = 1; i <= (int)n + 1; i++) {
		Mint tmp = i / (n + m - i + 1);
		if (i > 1) pre *= (n - i + 2) / (n + m - i + 2);
		tmp *= pre;
		res += tmp;
	}
	res *= m;
	Mint h = 0;
	for (Mint i = 1; i != (n + 1); i++)
		h += 1 / i;
	h = h * m + 1;
	cout << res * h;
	return 0;
}

實際上本題的第一部分期望還可以優化：

\[\begin{aligned} E(x)&=1\times\frac{m}{n+m}+2\times\frac{n}{n+m}\frac{m}{n+m-1}+3\times\frac{n}{n+m}\frac{n-1}{n+m-1}\frac{m}{n+m-2}+\cdots \\ &=\sum^{n+1}_{i=1}i\times\frac{m}{n+m+1-i}\prod^{i-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j} \\ &=\frac{n}{m+1}+1 \end{aligned} \]

簡單解釋：你可以直接變換出來。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Mint類太長省略了
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	Mint m, n;
	cin >> n >> m;
	Mint ans = (n + m + 1) / (m + 1);
	Mint h = 0;
	for (Mint i = 1; i != (n + 1); i++)
		h += Mint(1) / i;
	h = h * m + 1;
	cout << ans * h;
	return 0;
}