CDQ分治學習筆記

阿新 • • 發佈：2020-08-22

CDQ分治是2008 IOI金牌神仙陳丹琦在國家集訓隊引入的一種離線分治演算法，

對時間分治，時間複雜度為O(logn*單次處理複雜度）。

思路大體是這樣的：

資料結構問題的操作通常可以分為修改和查詢兩類，而每一次查詢就是詢問前面所有的修改對當前的影響，

而CDQ分治將動態的問題分解為一個個靜態的，對時間點計算影響的問題，並用分治的方法統一求解。

當前有N個操作，我們用solve(l,r)計算在[l,r]區間內的修改對區間內查詢的貢獻，做法如下：

　　設mid=(l+r)/2，

　　1.分治計算solve(l,mid)

　　2.分治計算solve(mid+1,r)

　　3.計算[l,mid]內所有的修改對[mid+1,r]的查詢的影響

solve(1,N)是呼叫入口，當l==r時，只有一項操作，可以直接返回。

我們將原來的動態問題分解成了一個個步驟3的靜態問題，其數量是(1+2+4+...+2^k)=O(N)個，其中2^k<=N。

而每一個原來的詢問由O(logN)個靜態問題組成，由於總共遞迴O(logN)層，所以複雜度是O(logn*單次處理複雜度）。

因為每一個靜態問題的時復只與當前的l，r有關，因此效率較高。

例題天使的玩偶https://www.luogu.com.cn/problem/P4169

對於每個查詢，要計算min{|x-x_i|+|y-y_i|}，為了去掉絕對值符號，我們將詢問分成四瓣，分別查詢當前點左下、左上、右下、右上的最近距離。

將其分解成

　　x+y-max{x_i+y_i}

　　x-y-max{x_i-y_i}

　　-x+y-max{-x_i+y_i}

　　-x-y-max{-x_i-y_i}

在計算步驟3時，列舉四個方向，並用樹狀陣列維護最大值即可，

實現細節看程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAX 300010
#define Inf 1000001
#define lowbit(x) x&-x
#define PII pair<int,int>
#define 
 mk make_pair
#define ft first
#define sc second
using namespace std;
struct pos{
    int x,y;
    int type,ans;
}p[MAX*2];
inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return s*w;
}
int t[Inf],cnt,q[MAX*2];
PII opt[MAX*2];
void update(int x,int k){
    for(;x<=Inf&&t[x]<k;x+=lowbit(x))t[x]=k;
}
int get(int x){
    int res=0x80808080;
    for(;x;x-=lowbit(x))res=max(res,t[x]);
    return res;
}
void del(int x){
    for(;x<=Inf;x+=lowbit(x))t[x]=0x80808080;
}
int type(int x,int y,int id){
    switch(id){
        case 0:return x+y;
        case 1:return x-y;
        case 2:return -x+y;
        case 3:return -x-y;
    }
}
bool cmp(int a,int b){return p[a].x<p[b].x;}
void work(int l,int r){
    int mid=(l+r)/2,x,y;
    int num;
    cnt=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
        if(!p[i].type)q[cnt++]=i;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)
        if(p[i].type)q[cnt++]=i;
    sort(q,q+cnt,cmp);
    for(int id=0;id<4;id++){
        num=-1;
        for(int i=(id<2?0:cnt-1);(id<2?i<cnt:i>=0);i+=(id<2?1:-1)){
            x=p[q[i]].x,y=p[q[i]].y;
            if(!p[q[i]].type){
                opt[++num]=mk(id&1?Inf-y:y,type(x,y,id));
                update(opt[num].ft,opt[num].sc);
            }
            else{
                if(num==-1)continue;
                p[q[i]].ans=min(p[q[i]].ans,type(x,y,id)-get(id&1?Inf-y:y));
            }
        }
        for(int i=0;i<=num;i++){
            del(opt[i].ft);
        }
    }
}
void cdq(int left,int right){
    if(left==right)return;
    int mid=(left+right)/2;
    cdq(left,mid); cdq(mid+1,right);
    work(left,right);
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n+m;i++){
        if(i>=n)p[i].type=read()-1;
        else p[i].type=0;
        p[i].x=read(),p[i].y=read();
        p[i].ans=2*Inf;
    }
    memset(t,0x80,sizeof(t));
    cdq(0,n+m-1);
    for(int i=0;i<n+m;i++){
        if(p[i].type)printf("%d\n",p[i].ans);
    }
    return 0;
}