最少的圓覆蓋點集的問題-貪心思想

問題

問題描述

假設海岸線是一條無限延伸的直線，陸地在海岸線的一側，海洋在另外一側。每個小島相當於海洋側的一個點。坐落在海岸線上的基站只能覆蓋半徑為d的範圍。應用直角座標系，將海岸線作為x軸，設海洋側在x軸上方。給定海洋中各小島的位置，以及通訊基站的覆蓋半徑，要求用最少的基站覆蓋所有小島，使得每個小島都能和陸地通過某基站通訊（在某個基站覆蓋範圍內）。

問題形式化定義

輸入

• S = {S₁,S₂,...,S_n}，半徑d

輸出

• P = {P₁,P₂,...}

演算法描述

貪心思想

簡單來講，就是在對於S_i畫圓，要求圓心在x軸上，且圓心應當處於S_i右側，以及S_i

依據左交點橫座標的大小，對S集合中的點進行升序排列。依次處理排序後最前端的點S_i，如果P中不存在圓容納S_i，那麼將S_i之前所畫圓的圓心容納入集合P中，否則，繼續處理下一個點。

舉例為：

如上圖，輸入小島座標S=[S2,S1,S4,S3]，按照以各點為圓上一點時，該圓與x軸的左交點左至右（從小到大）排序後得到S=[S1,S2,S3,S4]。

開始作圓，從左至右，從S1開始，即先畫出黃圈，到S2，因為S2在上一圓內，故繼續；到S3，因S3在上一圓（黃圈）外，故保留上一圓（黃圈），另作新圓（藍圈），到S4，因S4在上一圓（藍圈）內，故繼續。
否則，如果只是按照x座標從左至右排序，即從S2開始作圓，到S1，S1並不在S2所作的紅圈內，故作新圓，如此產生多餘的圓。

分析貪心選擇性

定理， 存在一個原問題的最優解P，P點一定包含上述排序之後最前端點S₀所畫圓的圓心y。

證明， 如果不存在這樣的最優解，包含S₀所畫圓的圓心y。那麼對於該問題的任意一個最優解M而言，其一定存在一個圓心x，使得以x為圓心的點包含點S₀。令N = (M/{x})U{y}，N同樣是原問題的解。以y為圓心的圓一定可以包含僅由x為圓心的圓所包含的點（這一點是顯然的，也是無法證明的）。所以，|M|=|N|，M同樣是原問題的一個最優解，這與假設矛盾，所以假設不成立。

分析優化子結構

定理， 對於原問題的包含上述排序之後最前端點S₀所畫圓的圓心y的最優解P而言，P/{y}是 S/{a|a∈P,且a包含在以y為圓心的圓內}的該問題的最優解。

證明， P/{y}不是 S/{a|a∈P,且a包含在以y為圓心的圓內}的該問題的最優解，那麼一定存在該問題的一個最優解D，|D|<|P/{y}|+1，這與P是原問題的最優解矛盾，假設不成立。,那麼，DU{y}一定是原問題的一個解，而|DU{y}|=|D|+ 1 > |P|=|P/{y}|+1，這與P是原問題的最優解矛盾，假設不成立。

演算法設計

Seclet-circle(P[1..n],d);
ascending sort P by p.x + sqrt(d*d - p.y*p.y) - d;
S = null;
vertex = null;
for i=0 to n do
    if S == null || dis(P[i],vertex) > d
       vertex = {P[i]所畫圓的圓心};
       S = SU{vertex};
return S;

演算法複雜性分析

O(nlogn) + O(n) = O(n).