【數論】BSGS
BSGS(baby-step giant-step)
學習資料:OI Wiki
基礎篇
BSGS (baby-step giant step),常用於求解離散對數問題,該演算法可以在 \(\mathcal{O(\sqrt p)}\) 的時間內求解
\[a^x \equiv b\quad (mod\;p) \]
其中 \(a\,\bot\,p\) 。方程的解 \(x\) 滿足 \(0\le x<p\)。
演算法描述
令 \(x=A[\sqrt p]-B\),其中 \(0\le A,B\le \lceil \sqrt p\rceil\) ,則有
\[a^{A\lceil\sqrt p\rceil -B}\equiv b\;(mod\,p) \]
稍加變換,則有
\[a^{A\lceil\sqrt p\rceil}\equiv ba^B\;(mod\,p) \]
。
我們已知的是 \(a,b\),所以我們可以先算出等式右邊的 \(ba^B\) 的所有取值,列舉 \(B\),用 hash
/ map
存下來,然後逐一計算 \(a^{A\lceil\sqrt p\rceil}\) ,列舉 \(A\) ,尋找是否有與之相等的 \(ba^B\) ,從而我們可以得到所有的 \(x\),\(x=A\lceil\sqrt p\rceil-B\) 。
注意到 \(A,B\) 均小於 \(\lceil\sqrt p\rceil\),所以時間複雜度為 \(\mathcal{Q(\sqrt p)}\)
map
則多用一個 \(log\) 。
擴充套件篇
接下來我們求解
\[a^x\equiv b\quad(mod\;p) \]
其中 \(a,p\) 不一定互質。
具體地,設 \(d_1=gcd(a,p)\) 。如果 \(d_1\nmid b\) ,則原方程誤解。否則我們把方程除以 \(d_1\) ,得到
\[\frac{a}{d_1}\cdot a^{x-1}\equiv\frac{b}{d_1}\quad(mod\;\frac{p}{d_1}) \]
如果 \(a\) 和 \(\frac{p}{d_1}\) 仍不互質就再除,設 \(d_2=gcd(a,\frac{p}{d_1})\) 。如果 \(d_2\nmid \frac{p}{d_1}\)
\[\frac{a^2}{d_1d_2}\cdot a^{x-2}\equiv\frac{b}{d_1d_2}\quad(mod\;p) \]
同理,這樣不停判斷下去直到 \(a\bot\frac{p}{d_1d_2\cdots d_k}\) 。
記 \(D=\prod^k_{i=1}d_i\) ,於是方程就變成了這樣:
\[\frac{a^k}D\cdot a^{x-k}\equiv\frac bD\quad(mod\;\frac pD) \]
由於 \(a\bot \frac pD\) ,於是推出 \(\frac{a^k}D\bot\frac pD\) 。這樣 \(\frac{a^k}D\) 就有逆元了,於是把它丟到方程右邊,這就是一個普通的 BSGS 問題了,於是求解 \(x-k\) 後再加上 \(k\) 就是原方程的解。
注意,不排除解小於等於 \(k\) 的情況,所以在消因子之前做一下 \(\mathcal{O(k)}\) 列舉,直接驗證 \(a^i\equiv b\;(mod\,p)\) ,這樣就能避免這種情況。
BSGS && exBSGS 模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll kpow(ll a,int b,int p){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){x=1;y=0;return a;}
ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;x=y;
y=t-a/b*y;
return g;
}
ll inv(ll a,ll p)//exgcd求逆元, 前提 gcd(a,p)==1
{
ll x,y;
exgcd(a,p,x,y);
x=(x+p)%p;
if(!x)x+=p;
return x;
}
map<int,int>mp;
int BSGS(ll a,ll b,ll p)// gcd(a,p)==1
{
a%=p;b%=p;
int sp=ceil(sqrt(p));
ll pa=b,ap=kpow(a,sp,p);mp.clear();
for(int i=0;i<sp;i++,pa=pa*a%p)mp[pa]=i;
pa=1;
for(int i=0,j=0;i<=sp;i++,pa=pa*ap%p,j+=sp)
if(mp.count(pa)&&j-mp[pa]>=0)return j-mp[pa];
return -1;
}
int exBSGS(ll a,ll b,ll p)
{
a%=p;b%=p;
int k=0,t;ll tp=p,tb=b,ta=1;
while((t=__gcd(a,tp))!=1){
if(tb%t)return -1;
tp/=t,tb/=t,ta=ta*a/t%tp;k++;
}
for(int i=0;i<=k;i++)
if(kpow(a,i,p)==b)return i;
tb=tb*inv(ta,tp)%tp;
return BSGS(a,tb,tp)+k;
}
int main()
{
ll a,b,p;
while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b)&&(a||b||p))
{
int res=exBSGS(a,b,p);
if(res==-1)puts("No Solution");
else printf("%d\n",res);
}
}