簡介

本文提出了一種六面體體細分的方案，可以將六面體分成比較光順的六面體。同時增加六面體的數量且不改變六面體的拓撲。
本文作者 Bajaj =.=

論文方案

主要由兩個步驟組成 split & average
將CC四邊形細分變為簡單的方案可以通過 bi-linear subdivision followed by a simple averaging operation.
一個雙線性細分然後跟著一個均值的操作。

split

簡單來說差值細分，作者沒有對於表面點進行詳細的說明。
但是對於內部的點

average

作者提出了一種mask的思想。
找到一篇文章講mask的思想。就是新產生的點的權重的確定的矩陣
More precisely:
• What are good averaging masks?
• The averaging mask determines the weights by which the new point positions are computed

對於一個面來說，mask矩陣就是中心點和它四個角的加權平均

不知道能否這麼解釋。
核心語句 reposition a vertex at the centroid of the centroids of the eight hexahedra that contain the vertex.
對於在中心點來說，一個點連線著8個cell（六面體），如何移動這個頂點的座標呢？首先求這8個cell的重心（每個cell8個頂點的均值），
求出8個cell均值，然後8個cell均值的均值，也就是這個點應在存在的位置了。 下圖的公式就是對於這個思想的簡單解釋了

但是核心的是如何確定邊緣的點，邊緣的點只連線了4個cell，如果採用上述方法，那麼將導致急劇的收縮。
所以作者在2.3節提出了複合細分規則。
\(ring[v1, v2..]\) 表示一些列頂點的多面體
\(val[v1,v2..]\) 表示這一系列點含有的多面體的個數。
\(dim[v1, v2..]\) 表示最小的維度 0 表示他們重合在了一起，1表示他們在邊上，2表示他們在公共面上。
對於一箇舊頂點，他的新座標表示在周圍一圈舊多面體的加權求和上。
作者提出了這個公式

\[\frac{1}{4^{\mathrm{d}} \operatorname{val}[\mathrm{v}]} 3^{\mathrm{d}-\mathrm{dim}[\mathrm{u}, \mathrm{v}]} \operatorname{val}[\mathrm{u}, \mathrm{v}] \]

這個圖就是對於公式的應用。
n表示中心黑點的度，也就是中心黑點和幾個四邊形相互連線。
如果只有一個四邊形的話，那麼 n = 1, val[v] = 1
\(\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2 * 1} * 3^{2-2} * 1\) 因為共面所以dim=2， val[u,v] = 1 是因為包含u,v的頂點的面只有一個面。

文章公式思考

1. \(P_i = S_{i-1} P_{i-1}\)
   \(P_i\) 細分之後的舉證
   \(S_{i-1}\) 細分矩陣（簡單來說，可以使用細分方案）
   \(P_{i-1}\) 細分之前的矩陣。

---

對於數學沒有太敏感的我，沒什麼軟用。

2. \(T_i\) 表示連線關係的拓撲矩陣。

文章圖片思考

演示了對於面進行split & average 之後的結果。然後作者依據這種現象構建了新的六面體細分方案。

可以通過上面的圖看出來有兩個操作，一個是簡單的差值，另一個是average。中間的圖是差值的操作。

上面一行是差值，下面一行是average的效果圖。

TIPS

Unfortunately, these rules only apply to quadrilateral meshes with tensor product topology (i.e. each
interior vertex is shared by four quadrilaterals). 作者說，簡單的四邊形細分規則，只能應用於張量積形式的拓撲（作者舉了一個例子，就是內部點，周圍有四個頂點。）

文章優點

可以應用於非流形拓撲,證明了這種方案生成的六面體網路的連續性。

猜想

文章的難點 均分可以解決內部點的問題如何將表面的點進行均分？？？

Question

1. 嵌入摺痕表示為CC曲面和樣條曲線。嵌入摺痕（embedded creases）就很由靈性了。真不懂，如果誰知道可以寫一篇部落格然後留一個評論。
2. 張量積 是什麼鬼？

參考連結 https://www.cnblogs.com/sybil-hxl/p/12804765.html
https://img2020.cnblogs.com/blog/968024/202005/968024-20200515231824101-870579029.png

3. 雙線性細分？

猜測 應該是沿著兩個維度進行細分
類比3線性細分 應該是沿著三個維度進行細分