技術標籤：數論and數學codeforces矩陣樹定理高斯消元

正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D

題目大意

給出 n n n個點的一棵樹，對於每個 k k k求有多少個 n n n個點的樹滿足與給出的樹恰好有 k k k條邊重合。

解題思路

矩陣樹有一個統計所有樹邊權和的和用法，就是把變數變成一個形如 w x + 1 wx+1 wx+1的多項式，這樣一次項係數的值就表示了固定選擇一條邊的 w w w時其他邊的方案數之和。

這題我們可以同理，對於在給出數上的邊是 x x x，而其他就是 1 1 1。那麼最後詢問 x k x^k

如果暴力套 NTT \text{NTT} NTT不僅麻煩，而且跑的很慢過不了本題，考慮另一種求係數的方法。

我們假設答案是一個形如 F ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 a i x i F(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i F(x)=∑i=0n−1​ai​xi的 n n n次項式，那麼我們如果把 n n n個 x x x的值直接帶入求出 F F F，然後用待定係數法的話我們就可以列出 n n n個方程從而解出這個 n n n項式的每一個係數。

時間複雜度 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)

code

#include<cstdio>
 

#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110,P=1e9+7;
ll n,x[N],y[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
namespace Guass{
    ll a[N][N],b[
 
N];
    void solve(){
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            ll z=i;
            for(ll j=i;j<=n;j++)
                if(a[j][i]){z=j;break;}
            swap(a[i],a[z]);swap(b[i],b[z]);
            ll inv=power(a[i][i],P-2);
            for(ll j=i;j<=n;j++)
                a[i][j]=a[i][j]*inv%P;
            b[i]=b[i]*inv%P;
            for(ll j=i+1;j<=n;j++){
                ll rate=P-a[j][i];
                for(ll k=i;k<=n;k++)
                    (a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;
                (b[j]+=rate*b[i]%P)%=P;
            }
        }
        for(ll i=n;i>=1;i--){
            for(ll j=i+1;j<=n;j++)
                (b[i]+=P-b[j]*a[i][j]%P)%=P;
        }
        return;
    }
}
namespace Matrix{
    ll a[N][N];
    ll det(){
        ll f=1,ans=1;
        for(ll i=1;i<n;i++){
            ll z=i;
            for(ll j=i;j<n;j++)
                if(a[j][i]){
                    if(j!=i)f=-f;
                    z=j; break;
                }
            swap(a[i],a[z]);
            ll inv=power(a[i][i],P-2);
            ans=ans*a[i][i]%P;
            for(ll j=i;j<n;j++)
                a[i][j]=a[i][j]*inv%P;
            for(ll j=i+1;j<n;j++){
                ll rate=P-a[j][i];
                for(ll k=i;k<n;k++)
                    (a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;
            }
        }
        return ans*f;
    }
    void solve(ll w){
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            for(ll j=1;j<=n;j++)
                a[i][j]=P-1;
        for(ll i=1;i<=n;i++)a[i][i]=n-1;
        for(ll i=1;i<n;i++){
            a[x[i]][x[i]]+=w-1;
            a[y[i]][y[i]]+=w-1;
            a[x[i]][y[i]]=P-w;
            a[y[i]][x[i]]=P-w;
        }
        Guass::b[w]=det();
        for(ll i=1,p=1;i<=n;i++,p=p*w%P)
            Guass::a[w][i]=p;
        return;
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=1;i<n;i++)
        scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
    for(ll i=1;i<=n;i++)Matrix::solve(i);
    Guass::solve();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld ",Guass::b[i]);
    return 0;
}