題面：

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一句話題意：

給出 \(k\) 組詢問，每次給你一個 \(n\) ，讓你回答 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(gcd（i，j)\)

題解

下面，又到了我們的頹柿子時間啦。

我們要求的是這個柿子:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(gcd（i，j)\)

先列舉一個 \(d\) 可得：

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n}\phi(d) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} [gcd(i,j) == d]\)

後面的那兩個求和柿子可以提出一個 \(d\)

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n} \phi(d) \sum_{i=1}^{n\over d}\sum_{j=1}^{n\over d} [gcd(i,j) == 1]\)

後面的柿子有沒有覺得有點熟悉？

如果你做過 儀仗隊 ，你就會一眼把他秒了。

我們有一個等式： \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j) == 1] = \sum_{i=1}^{n}2 \times \phi(i) - 1\)

具體證明：

首先對於一個 \(i\)， 與他互質的個數 是 \(\phi(i)\) ，又因為 （i，j） 和 （j, i）這兩個數對算兩個，所以要乘二，減一則是要減去算重複的1.

對於 \(i \leq j\) 的情況有 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j) == 1] = \sum_{i=1}^{n} \phi(i)\)

對於 \(i >= j\) 的情況同理，最後在減去重複計算的 1

把這個等式代回原來的柿子，可以化簡為:

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n}\phi(d) \sum_{i=1}^{n \over d} 2 \times \phi(i) - 1\)

他還可以化為

\(\displaystyle(\sum_{d=1}^{n} \phi(d) (2 \times sum[{n \over d}])) - sum[n])\)

對後面的求和柿子，可以預處理出來 \(\phi\) 函式的字首和。，在用一下數論分塊，列舉每個 \(d\) 即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1e7+10;
int t,n,m,tot;
int prime[N],phi[N];
LL sum[N];
bool check[N];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch;
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s =s * 10+ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void YYCH()
{
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N-5; i++)//預處理φ函式值
	{
		if(!check[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N-5; j++)
		{
			check[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
			}
			else
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= N-5; i++)//求字首和
	{
		sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
	}
}
LL slove(int n)
{
	LL res = 0;
	for(int l = 1,r; l <= n; l = r + 1)//數論分塊
	{
		r = n/(n/l);
		res += 1LL * 2 * (sum[n/l]) * (sum[r]-sum[l-1]);
	}
	res -= sum[n];
	return res;
}
int main()
{
	t = read(); YYCH();
	while(t--)
	{
		n = read();
		printf("%lld\n",slove(n));
	}
	return 0;
}