圖 續2
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圖的遍歷
圖的遍歷 分為：深度優先搜索 和 廣度優先搜索
不同的方式在遍歷時，遍歷路徑是不一樣的
深度優先搜索
對如下圖進行深度優先搜索：
需要先選定一個點，假設選定的點為 A
先從 A 的一支開始搜索，搜索到 B，接著：
從 B 搜索到 C，從 C 搜索到 E，從 E 搜索到 F，直到
從 F 再搜索時已經形成了一個環為止
再從 A 的另一支開始搜索，搜索到 D，接著：
從 D 搜索到 G，從 G 搜索到 H，直到從 H 再搜索時
已經形成了一個環為止
通過上面的搜索過程，不難發現，這與二叉樹的前序遍歷的
根 - 左 - 右 模式 非常相似
其實，對於圖的深度優先搜索來說， 就是前序遍歷：
先搜索根，然後再搜索與根連接的每一個節點，而且需要深入
到這個節點的最終端
最後：
深度優先搜索的順序：A B C E F D G H
其中：B 到 F 的邊，和 D 到 H 的邊，需要舍棄掉，
因為它們已經使得當前的這棵樹形成了一個環
廣度優先搜索
廣度優先搜索 其實比 深度優先搜索 更容易理解
對如下圖進行廣度優先搜索：
如果把這張圖分成層，廣度優先搜索其實就是一層一層的去搜索，
它的搜索順序就是先搜索 A，再搜索 B、D，然後搜索 C、F、G、
H，最後搜索 E
最後：
廣度優先搜索的順序：A B D C F G H E
其中：E 到 F 的邊，和 G 到 H 的邊，需要舍棄掉，
因為它們已經使得當前的這棵樹形成了一個環
最小生成樹
通過對 深度優先搜索 和 廣度優先搜索 的了解，不難發現，
采用不同的搜索方式，形成的生成樹是不一樣的
但是這樣的遍歷，其實還是相對比較簡單的，它並沒有涉及
到權值的問題。在一張圖中，頂點和頂點之間的邊如果是有
權值的，它的問題將會更加復雜
這樣，就涉及到 最小生成樹 的問題
看如下實例：
有這樣六個城市，分別叫 A、B、C、D、E、F，需要在六個城市
之間修路（可以看成是六個頂點）
其實每兩個城市之間都可以修路，但是修路的成本可能不一樣，中間也許隔著山
如：從 A 市修向 B 市，如果中間隔著山，成本就會很高，假設權值為 6
那就不如先從 A 市修到 F 市，再從 F 市修到 B 市，這樣，總權值才為 3
可見：如果有了權值之後，想把所有頂點全部連接起來，且使得最後連接
起來的結果最為經濟，這樣，就是一顆最小生成樹
希望達到的結果是這樣：
從 A 開始：A 修到 F，F 修到 B，B 修到 C，F 修到 D，D 修到 E
不難發現，選擇的全是值比較小的邊，而加起來的總成本也最小
但是，有了左圖，通過它去求一棵最小生成樹，從而達到右圖的
效果，卻是需要一套算法的
這樣的算法，共有兩種：
一種叫做 普裏姆（Prim）算法，一種叫做 克魯斯卡爾（Kruskal）算法
普裏姆（Prim）算法
普裏姆（Prim）算法的基本思想：
1）首先要有一個點集合，是指納入到最小生成樹中的點集合
2）其次要有一個邊集合，是指納入到最小生成樹中的邊集合
3）最後要有一個待選邊集合，是指被選定點可以到達的所有邊的集合
第一步：
假設從 A 點開始，則 A 就是選定的第一個點，把 A 納入到點集合中
從 A 向外延伸出去一共有三條邊，分別是 A-B、A-F、A-E，把這三
條邊納入到待選邊集合中
從待選邊集合中找出權值最小的邊，即 A-F，把 A-F 納入到邊集合中
這樣，第一個點 和 第一條邊 就確定下來了
第二步：
邊 A-F 連接了下一個點 F，把 F 納入到點集合中
把從 A、F 向外延伸出的所有邊都納入到待選邊集合中
待選邊集合進一步擴充，變成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、
F-C、F-D
「註意：同一條邊，不需要重復寫，如：A-F 和 F-A」
其中 A-F 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 F-B，把 F-B 納入到邊集合中
第三步：
邊 F-B 連接了下一個點 B，把 B 納入到點集合中
把從 A、F、B 向外延伸出的所有邊都納入到待選邊集合中
待選邊集合進一步擴充，變成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、
F-C、F-D、B-C
其中 A-F、F-B 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 B-C，把 B-C 納入到邊集合中
第四步：
邊 B-C 連接了下一個點 C，把 C 納入到點集合中
把從 A、F、B、C 向外延伸出的所有邊都納入到待選邊集合中
待選邊集合進一步擴充，變成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、
F-C、F-D、B-C、C-D
其中 A-F、F-B、B-C 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 F-D，把 F-D 納入到邊集合中
第五步：
邊 F-D 連接了下一個點 D，把 D 納入到點集合中
把從 A、F、B、C、D 向外延伸出的所有邊都納入到待選邊集合中
待選邊集合進一步擴充，變成 A-B、A-F、A-E、F-B、F-E、
F-C、F-D、B-C、C-D、D-E
其中 A-F、F-B、B-C、F-D 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 D-E，把 D-E 納入到邊集合中
第六步：
邊 D-E 連接了下一個點 E，把 E 納入到點集合中
此時，點集合中有 A、F、B、C、D、E，即 全部六個點都被連接
了起來，形成了一棵最小生成樹
克魯斯卡爾（Kruskal）算法
克魯斯卡爾（Kruskal）算法的基本思想：
1）首先要有一個待選邊集合，是指一張圖中所涉及的所有邊的集合
1）其次要有一個已選邊集合，是指納入到最小生成樹中的邊集合
2）最後要有一個已涉及點集合，是指納入到最小生成樹中的點集合
第一步：
首先把這張圖中所涉及的所有邊都納入到待選邊集合中
從待選邊集合中找出權值最小的邊，即 A-F，把 A-F 納入到已選邊集合中
選定邊的同時，也選定了點，把 A、F 納入到第一個已涉及點集合中
第二步：
待選邊集合中 A-F 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 F-B，把 F-B 納入到已選邊集合中
選定邊的同時，也選定了點，把 B 納入到第一個已涉及點集合中
其實 D-E 的權值也為 2，F-B 和 D-E 二者任選其一即可，這裏先選 F-B，
F-B 選出來之後、納入到已選邊集合之前，要判斷一下：
當前的 F-B 有沒有與以前的 A-F 形成閉環，如果形成了閉環，就需要將
這條邊拋棄掉
顯然，這裏沒有形成閉環，於是 F-B 這條邊就被納入到已選邊集合中
即 每次從待選邊集合中選邊時，都要做如下操作：
1）當最小權值的邊有多條時，任選其一
2）如果當前選定的邊與已選邊集合中的邊形成了閉環，
就將這條邊拋棄掉，重新選擇
第三步：
待選邊集合中 A-F、F-B 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 D-E，把 D-E 納入到已選邊集合中
註意：默認在 D-E 納入到已選邊集合之前，就已經判斷沒有形成閉環
選定邊的同時，也選定了點，把 D、E 納入到第二個已涉及點集合中
因為通過已選定邊集合無法讓 A、F、B 和 D、E 相連，所以要納入到
兩個不同的已涉及點集合中
第四步：
待選邊集合中 A-F、F-B、D-E 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 B-C，把 B-C 納入到已選邊集合中
註意：默認在 B-C 納入到已選邊集合之前，就已經判斷沒有形成閉環
選定邊的同時，也選定了點，把 C 納入到第一個已涉及點集合中
因為通過已選定邊集合無法讓 A、F、B、C 和 D、E 相連，所以要納入到
兩個不同的已涉及點集合中
第五步：
待選邊集合中 A-F、F-B、D-E、B-C 已被選走，不能再被選
從剩下待選邊集合中找出權值最小的邊，即 F-D，把 F-D 納入到已選邊集合中
註意：默認在 F-D 納入到已選邊集合之前，就已經判斷沒有形成閉環
已選定邊集合中的 F-D 使得兩個不同的已涉及點集合中的 F 和 D 關聯了起來，
即 兩個不同的已涉及點集合有了聯系，融合成為一個已涉及點集合
此時，已涉及點集合中有 A、F、B、D、E、C，即 全部六個點都被連接
了起來，形成了一棵最小生成樹
【made by siwuxie095】
圖 續2