51Nod 1228 序列求和
阿新 • • 發佈：2017-05-24
amp log class n-1 gray 個數 數量 algorithm --
T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n)。給出n和k，求S(n)。
例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。
由於結果很大，輸出S(n) Mod 1000000007的結果即可。
Input
第1行：一個數T，表示後面用作輸入測試的數的數量。（1 <= T <= 5000) 第2 - T + 1行：每行2個數，N, K中間用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)Output
共T行，對應S(n) Mod 1000000007的結果。
3 5 3 4 2 4 1Output示例
225 30 10
數學問題 伯努利數 模板題
用伯努利數可以求自然數冪的和：
$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{k+1}* \sum_{i=1}^{k+1} (C_{k+1}^{k+1-i} *B_{k+1-i}*(n+1)^i) $
伯努利數可以$O(n^2)$遞推出來：
$ B_n=-\sum_{k=0}^{n-1} C_{n+1}^{k}*B_k$
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3#include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<cmath> 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 const int mod=1e9+7; 9 const int mxn=2017; 10 LL read(){ 11 LL x=0,f=1;char ch=getchar(); 12 while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} 13 while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10-‘0‘+ch;ch=getchar();} 14 return x*f; 15 } 16 LL B[mxn]; 17 int c[mxn][mxn]; 18 int ksm(int a,int k){ 19 int res=1; 20 while(k){ 21 if(k&1)res=(LL)res*a%mod; 22 a=(LL)a*a%mod; 23 k>>=1; 24 } 25 return res; 26 } 27 void init(){ 28 for(int i=0;i<mxn;i++)c[i][0]=1; 29 for(int i=1;i<mxn;i++) 30 for(int j=1;j<mxn;j++) 31 c[i][j]=((LL)c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod; 32 B[0]=1; 33 for(int i=1;i<mxn;i++){ 34 for(int j=0;j<i;j++) 35 B[i]=(B[i]-c[i+1][j]*B[j])%mod; 36 int inv=ksm(i+1,mod-2); 37 B[i]=B[i]*inv%mod; 38 if(B[i]<0)B[i]+=mod; 39 } 40 return; 41 } 42 LL n;int k; 43 void calc(){ 44 int res=0; 45 int tmp=(n+1)%mod;int bas=tmp; 46 for(int i=1;i<=k+1;i++){ 47 res=((LL)res+(LL)c[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*tmp%mod)%mod; 48 tmp=(LL)tmp*bas%mod; 49 } 50 int inv=ksm(k+1,mod-2); 51 res=(LL)res*inv%mod; 52 printf("%d\n",res); 53 return; 54 } 55 int main(){ 56 int i,j; 57 init(); 58 int T=read(); 59 while(T--){ 60 n=read();k=read(); 61 calc(); 62 } 63 return 0; 64 }
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