二叉搜索樹
--------------------siwuxie095
二叉搜索樹
這裏介紹二叉搜索樹（Binary Search Tree）
二叉搜索樹，顧名思義，本質上也是一棵二叉樹
二叉樹在計算機中是一種非常常用的數據結構，選擇什麽類型的二叉樹
很多時候要根據需要解決的問題而定
使用數據結構的核心是要解決問題，而並非是為了使用數據結構而使用
數據結構
使用二叉樹並不是因為二叉樹很酷，很炫，聽起來很專業，而是因為二
叉樹能夠高效的解決一類問題
二叉搜索樹解決的一類問題就是在計算機中非常常見的
「查找問題是計算機中非常重要的基礎問題」
可能很多人會覺得這個問題非常簡單，就是在一組數據中找到某
個數據，但是仔細想一想就會發現，查找問題雖然描述出來很簡
單，但是它的應用卻非常廣泛
從去銀行辦理業務時，銀行根據證件號碼從系統中調出相應的信
息，到在 Google 中搜索內容時，Google 根據關鍵字來查找相
關的信息 …
查找問題，是一個聽起來非常樸素，實際上卻非常困難，被研究
的非常廣泛的一類問題
「查找問題，即 Search Problem」
二叉搜索樹的優勢
事實上，二叉搜索樹，通常都用於實現
有的地方，也稱 查找表 為 字典，如下：
key1 | value1 |
key2 | value2 |
key3 | value3 |
key4 | value4 |
key5 | value5 |
即 對於這些數據而言，都是一個一個鍵值對，即 key-value
對應的數據對，給你一個 key，相應的就有一個 value
這樣大量的數據對，集合在一起就形成了一張表，在這張表
中通過鍵（key）就能直接查到對應的值（value）
最典型的一個應用就是字典。對於一個字典來說，鍵（key）
就是一個個單詞，而值（value）就是單詞的釋義
這也是查找表有時候也被稱為字典這樣一種數據結構的原因
如果這些 key 都是整數，而且範圍比較小，那麽使用數組就可以輕易
地用索引直接來索引到相應的 value
但在實際的業務邏輯中，很多時候不能用整數來表達這樣的鍵（key），
或者是因為這些鍵（key）相對比較稀疏，使用數組在空間上並不經濟，
或者是因為這些鍵（key）壓根就不能用整數來表示
例如：字典的鍵（key）其實是一個字符串
這種情況下，就需要實現一個查找表，而實現查找表的最基礎的一個
方式是實現二叉搜索樹
當然，也完全可以用 普通數組 或 順序數組 來實現這個一個查找表
| 查找元素 | 插入元素 | 刪除元素 |
普通數組 | O(n) | O(n) | O(n) |
順序數組 | O(lgn) | O(n) | O(n) |
二分搜索樹 | O(lgn) | O(lgn) | O(lgn) |
可以簡單分析一下使用普通數組 或 順序數組的時間效率：
1）使用普通數組：
查找一個元素，就需要使用 O(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，看要找的
那個元素在數組的什麽位置
插入一個元素，也需要使用 O(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，因為對於
查找表來說，需要先看一看當前查找表中是否已經含有要插入的元素。
如果沒有，再插入；如果有的話，就應該是對 key 相應的 value 進行
一個更新操作
刪除一個元素，也需要使用 O(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，來刪除相
應的元素
2）使用順序數組：
要一直保證這個數組是有序的。這樣一來，查找一個元素就可以使用
二分查找法，用 O(lgn) 的時間進行查找，但對於插入一個元素和刪除
一個元素來說，依然要使用 O(n) 的時間
相較而言，二叉搜索樹就高效很多，它能夠保證查找、插入、刪除這
三個操作的時間復雜度近乎都是 O(lgn) 級別的
所以，二叉搜索樹的優勢：
1）高效
不僅可以高效查找數據，還可以高效地插入數據、刪除數據 - 動態維護數據
也就是說，如果能一下就把所有的數據拿到手，那可能先對數據進行排序再
使用二分查找法，就足夠了
但在很多時候，查找、插入、刪除這三個操作，在業務的過程中都是要涉及
的，因此，二叉搜索樹提供了一個可以非常高效地動態維護數據的方式
2）可以方便地回答很多數據之間的關系問題，如下：
min、max、floor、ceil、rank、select
可以輕易地找到所有數據中的最小值 min、最大值 max，某個數據的 floor
相應的值、ceil 相應的值，還有給定一個數據，求它的排名 rank，以及找
到所有數據中某排名（如：第 100 名）的數據 select
二叉搜索樹的定義
如下圖所示，是一棵二叉搜索樹：
二叉搜索樹，是指一棵空樹 或者具有下列性質的二叉樹：
1）若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值
2）若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值
3）任意節點的左、右子樹也分別為二叉搜索樹
4）沒有鍵值相等的節點
即
1）每個節點的鍵值都大於左孩子
2）每個節點的鍵值都小於右孩子
不難看出，二叉搜索樹的定義中天然就包含了遞歸結構
正因為如此，在對二叉搜索樹編程時，很多時候都可以使用遞歸函數的方式，
方便快速地實現很多功能
註意：對於堆來說，堆的那棵二叉樹一定是一棵完全二叉樹，但對於二叉搜索
樹來說，是沒有這個限制的，如下：
換句話說，上圖中的這棵樹，也是二叉搜索樹，即 二叉搜索樹，不一定是
完全二叉樹
在實現堆的時候，是利用了堆一定是一棵完全叉樹的特點，所以能用數組
來表示堆，但二分搜索樹不一定是完全二叉樹，所以用數組表示並不方便
因此，通常是設立 Node 節點，來表示 key-value 這樣的數據對，而節點
之間的聯系，則使用指針的方式來表示
【made by siwuxie095】
二叉搜索樹